Презентація "Елементи комбінаторики"

Елементи комбінаторики. Вчителька математики Панчівської ЗШ І- ІІІ ступенів. Яриш М. Ф.

Що вивчає комтінаторика Під час розв’язання задач з різних галузей науки і практики часто доводиться відповідати на запитання: скількома способами можна виконати те , що вимагається? Наприклад, скількома способами можна скласти розклад уроків на день з 5 різних предметів, якщо в класі вивчається 10 предметів, або скільки різних зв’язків існує між атомами і молекулами певної речовини тощо. Такі задачі дістали назву комбінаторні. Виявляється , що для комбінаторних задач існують загальні методи розв’язання. Розділ математики , який займається методами розв’язання комбінаторних задач, називається комбінаторикою.

Правило суми і добутку

Правило добутку. Приклад 2. У їдальні є вибір з 2 перших і 5 других страв. Скількома способами можна обрати обід з першої та другої страв?Розв’язання: обід з першої і другої страви можна обрати 2 ∙ 5 = 10 (способами). Відповідь: 10-ма способами. Правило добутку теж розповсюджується на три і більше елементів.

Правило суми. Приклад 1. В ящику знаходиться 7 білих і 4 чорних кульки. Скількома способами можна вибрати одну кульку?Розв’язання: вибрати одну кульку (білу, або чорну) можна 7 + 4 = 11 (способами). Відповідь: 11 способами.

тести. Завдання №1: У коробці лежать 5 червоних і 7 зелених олівців. Скільки існує способів вибору зі коробки одного червоного або зеленого олівця?А. 1 спосіб Б.2 способи В.12 способів Г.35 способів. Завдання №2: У буфеті пропонують 4 види булочок та 3 види напоїв: молоко, чай та сік. Скільки існує способів вибору сніданку, щр складається з однієї булочки та одного виду напою?А.2 способи Б.7 способів В.4 способи Г.12 способів Завдання №3: На тарілці лежать 20 пиріжків: вісім із м’ясом, сім із картоплею, а решта з вишнями. Скільки існує способів вибору пиріжків так, щоб усі вони були з різною начинкою?А.15 способів Б.280 способів В.20способів Г.56 способів

Додаткові завдання. На полиці лежить 5 підручників з алгебри, 3- з історії, 4- з геометрії. Скількома способами можна вибрати один підручник з математики?Із 25 членів туристичної групи 10 осіб володіють англійською мовою, 8- німецькою, решта французькою. Скількома способами можна вибрати особу, яка володіє німецькою або французькою?Іринки у гардеробі лежить 5 спідниць, 4 блузки та 6 хусток. Скільки часу витратить Іринка, якщо кожний із можливих костюмів, що складається із спідниці, блузки та хустки, вона примірятиме протягом 1 хвилини?Із села Приватне до села Чарівне можна проїхати трьома різними дорогами, а з села Чарівне до села Веселе - двома різними дорогами. Скільки різних маршрутів можна прокласти від села Привітне до села Веселе?

перестановки. Означення. Будь яка впорядкована множина (важливий порядок елементів), яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів. Позначається Рn =1∙2∙3∙4∙… ∙n= n!Читається n!: ен факторіал.5!= 1∙2∙3∙4∙5=120,6!- 4!=4!(5∙4−1)= = 1∙2∙3∙4∙19=24∙19==456. 

Задачі на перестановки. Задача 1. Олександр , Іван, Петро, Денис, Оля і Настя часто ходять в кафе. Щоразу обідаючи там , вони розсаджуються по - різному. Скільки днів друзі можуть це зробити без повторень?Відповідь 6!=720 (днів) приблизно 2 роки. Задача 2. Скількома способами можна посадити 5 жінок і 5 чоловіків так, щоб жодні дві особи однієї статі не сиділи поряд?Розв’язання. Занумеруємо місця номерами від 1 до 10. Для жінок і чоловіків можна вибрати місця двома способами – місця з парними або непарними номерами. Після цього – чоловіків на вибраних місцях можна посадити 5! способами. На інших місцях 5! способами можна посадити жінок. Усього 2 ∙ (5!)2=2∙ 1202 =28800. Задача 3. Скількома способами на книжній полиці в один ряд можна поставити підручники із 6 предметів так, щоб підручник з геометрії стояв крайнім?Розв’язання. Ставимо підручник з геометрії крайнім праворуч. Тоді до нього можна поставити решту 5 підручників 5! = 120 способами. Задача 4. Скільки різних п’ятицифрових чисел можна скласти із чисел 0, 1, 3, 5, 7 так, щоб цифри в кожному з чисел не повторювалися. Розв’язання. Р5 – Р4=5! – 4! =4! (5-1) = 96. 

розміщення. Означення. Будь - яка впорядкована підмножина з n елементів даної множини М, яка містить m елементів, де n ≤ m, називається розміщенням з m елементів по n. Позначається: А𝑚𝑛= m(m-1)(m-2)…(m-n+1). А𝑚𝑛=𝑚!𝑚−𝑛!Напрклад: А62=6∙5=35. А62=6!4! =1∙2∙3∙4∙5∙61∙2∙3∙4=5∙6=30. А53= 5 ∙4 ∙3=60. 

Задачі на розміщення. Задача 1. Скількома способами можна скласти трикольоровий прапор, якщо є матерії восьми кольорів. Розв’язання. А83 = 8∙7∙6 =336. Задача 2. Скільки є п’ятицифрових чисел записаних за допомогою цифр: а) 1, 2,3, …,9; б) 0, 1, 2, …,9, якщо цифри числа не повторюються. Розв’язання. а) А95=15120. б) А105- А94. Задача 3. У студентському гуртожитку в одній кімнаті живуть троє студентів. У них є 6 чашок, 8 блюдець, 10 ложечок (посуд різний). Розв’язання. 6 чашок можна розмістити А63, 8 блюдець – А83, 10 ложечок – А103 способами, то стіл накриють А63 ∙ А83 ∙ А103= (6∙5∙4)(8∙7∙6) (10∙9∙8)=8∙10!. Задача 4. У чемпіонаті міста з футболу грає 10 команд, кожна з яких проводить по дві зустрічі із суперником. Скільки всього матчів буде проведено в чемпіонаті міста?Розв’язання. А102 =10∙9 =90. Задача 5. Скільки сигналів можна подати п’ятьма різними прапорцями, піднімаючи їх у будь – якій кількості і в довільному порядку. Розв’язання. А51 + А52 +А53 + А54+ А55=325. Задача 6. Комісія , що складається з18 осіб, має вибрати голову, заступника та секретаря. Скількома способами це можна зробити?Розв’язання. А183 =18 ∙17 ∙16 4896. 

комбінаціїОзначення. Будь - яка підмножина з n елементів даної множини М, яка містить m елементів, називається комбінацією з m елементів по n. Позначається С𝑚𝑛 = А𝑚𝑛Р𝑛 . 

Властивості комбінаціїС𝑚𝑛 = С𝑚𝑚−𝑛. С𝑚0 = С𝑚𝑚 =1. С𝑚𝑛 + С𝑚𝑛+1= С𝑚+1𝑛+1. С𝑚0 + С𝑚1+ С𝑚2+…+ С𝑚𝑚=2𝑚 . 

Задачі на комбінаціїЗадача 1. На площині є 5 точок, жодні три з яких не лежать на одній площині. Скільки існує трикутників з вершинами в цих точках. Розв’язання. Зручно розмістити ці точки по колу. С53 Место для формулы.= А53 Р3 = 10. Задача 2. У ювелірну майстерню привезли 6 смарагдів, 9 алмазів та 7 сапфірів. Ювеліру замовили браслет у якого 5 смарагди, 5 алмазів та 2 сапфіри. Скількома способами він може вибрати каміння на браслет?Розв’язання. С65 С95 С72 Задача 3. З 12 робітників потрібно сформувати ремонтну бригаду з трьох осіб. Скількома способами можна це зробити?Розв’язання. С123=220. Задача 4. Музей має надати 4 картини відомого художника для виставки, присвяченої дню його народження. Одну картину вибирають з діючої експозиції музею, що місцять 5 робіт цього художника, а три інші – з архіву, у якому є 10 його картин. Скільки всього способів такого вибору?Розв’язання. С51 С103 = 600. Задача 5. Скількома способами можна вибрати на олімпіаду з математики трьох учнів із 12, які з математики навчаються на відміно?Розв’язання. С123 = А123 Р3 = 12∙11∙101∙2∙3 = 220. Задача 6. (ЗНО 2016) У чайному кіоску є лише розфасований у коробки по 100 г листовий чай 8 видів, серед яких є вид «чорна перлина» . Покупець вирішив придбати в цьому кіоску для подарункового набору три коробки чорного чаю трьох видів, серед яких обов’язково повинен бути вид «чорна перлина» . Скільки в покупця є варіантів такого придбання трьох коробок чаю для набору з наявних у кіоску?Розв’язання. С72 = А72 Р2 = 7∙62 = 21. 

Вибір формули

Розв’язування задач Розв’яжіть рівняння: 5 Сх3=Сх+24. Розв’язання. 5∙Ах3 Р3 = Ах+24 Р4; 5∙ х (х−1)(х−2)1∙2∙3 = х+2х+1х(х−1)1∙2∙3∙4; 5∙(х-2) =х+2х+14; 20х-40 =х2+3х +2; х2-17х +42=0; х1=3 і х2=14. Відповідь: 3; 4. 

Дякую за увагу