Презентація "Елементи комбінаторики. Перестановки"

ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ(ПЕРЕСТАНОВКИ) Виконала учитель математики. КЗ “Богодухівський ліцей №2”ЛЕЩЕНКО Олена

Г. В. Лейбніц. Термін "комбінаторика" був введений у математичний побут всесвітньо відомим німецьким вченим Г. В. Лейбніцем, який в 1666 році опублікував "Міркування про комбінаторне мистецтво".

Комбінаторика вивчає різного роду сполуки (перестановки, розміщення,комбінації), які можна утворити з елементів деякої скінченої множини

ПЕРЕСТАНОВКИ Перестановки - з'єднання, які можна скласти з n елементів, змінюючи всіма можливими способами їх порядок.

Скільки способами можуть 8 чоловік стати в чергу до театральної каси? Рішення завдання: Існує 8 місць, які мають зайняти 8 осіб. На перше місце може стати будь-хто із 8, тобто способів посісти перше місце – 8. Після того, як одна людина стала на перше місце, залишилося 7 місць і 7 осіб, які можуть бути розміщені на них, тобто. способів зайняти друге місце - 7. Аналогічно для третього, четвертого і т.д. місця. Використовуючи принцип множення, отримуємо Р=8*7*6*5*4*3*2*1=8!(читається 8 факторіал) і називається перестановкою P8. Відповідь: P8 = 8!

Спробуй самостійно 1) Скількома способами можна поставити поруч на полиці чотири різні книги?

Розв'язок На перше місце можна поставити одну з чотирьох книг, на другу - будь-яку з трьох, на третє - будь-яку з двох і на четверте - останню книгу, що залишилася. Застосуємо правило множення: Р4= 4*3*2*1=24. ВІДПОВІДЬ: 24 способи.

2)Скількома способами можна встановити чергування по одній людині на день серед семи учнів групи протягом 7 днів (кожен повинен відчергувати один раз)?.

Розв'язування: Використовуючи формулу перестановок, маємо: Р7=7*6*5*4*3*2*1=5040. ВІДПОВІДЬ: 5040 способів.

Теорема. Число перестановок з повтореннями із елементів {a1, …, am}, де a1, …, an повторюються відповідно k1, ..., kn раз, дорівнює Р( з повт) = (m!)/(к1! К2!... Кn!)

Спробуй самостійно Скільки різних слів можна отримати, переставляючи букви слова "математика"?

Рішення. Загалом у слові «МАТЕМАТИКА» 10 букв (m=10). Визначимо, скільки разів у слові використовується кожна літера: "М" - 2; "А" - 3; "Т" - 2; "Е" - 1; “И" - 1; "К" -1. (k1, k2, …, kn). Отже: Р2,3,2,1,1,1=(10!)/(2!3!2!1!1!1!)==151200 ВІДПОВІДЬ: 151200 слів.

ІСТОРИЧНА ДОВІДКАКомбінаторні мотиви можна побачити ще в символиці китайської «Книги змін» (V століття до н. е.). У XII ст. індійський математик Бхаскара у своїй основній праці «Лілаваті» докладно досліджував завдання з перестановками та сполученнями , включаючи перестановки з повтореннями.

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ1) Скількома способами можна розсадити вісьмох дітей на восьми стільцях у їдальні дитячого садка? 2) Скількома способами можна покласти 10 різних листівок в 10 конвертів (по одній листівці в конверт)?.

БАЖАЮ УСПІХІВ!