Урок "Властивості первісних"

ДНЗ «Гадяцьке ВПАУ»

Розробка уроку

Властивості

Виконала: Гавриш Олена Іванівна

Викладач  математики і фізики.

Веприк

2023

Властивості первісних

Мета уроку:

• предметна компетентність : навчити учнів  правил знаходження первісних і їх застосуванню під час розв’язування завдань.
• ключові компетентності:

• спілкування державною мовою – грамотно висловлюватися державною мовою; доречно та коректно вживати в мовленні математичну термінологію;
• уміння вчитися впродовж життя –прагнути до вдосконалення результатів своєї діяльності;
• ініціативність і підприємливість – аналізувати, прогнозувати, ухвалювати оптимальні рішення;
• інформаційно-цифрова – визначати достатність даних для розв’язання задач; структурувати дані; діяти за алгоритмом;
• соціальна та громадянська – висловлювати власну думку, слухати і чути інших.

Тип уроку: засвоєння нових знань і вмінь.

Обладнання та наочність: комп’ютер‚ проєктор, таблиця первісних, підручник «Математика 11 клас» Істер ,тести онлайн Coogleform, вправи LerningApps              , інфографіка «Властивості первісних»

 https://www.canva.com/design/DAETA0p8_Mg/XFTFt6gvtpSiuSHgUINvRw/view?utm_content=DAETA0p8_Mg&utm_campaign=designshare&utm_medium=link&utm_source=sharebutton

План уроку

1.Організаційний момент(1хв.)

2. Актуалізація опорних знань(10 хв.)

3.Вивчення нової теми(15 хв.)

4.Закріплення вивченого матеріалу(15 хв.)

5.  Підсумок уроку. Домашнє завдання(4 хв.)

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Перевірка відсутніх.

Сьогодні ми з вами вивчимо правила знаходження первісних ‚ а також навчимося застосовувати їх при розв’язуванні завдань.

2.Актуалізація опорних знань.

Для того щоб вивчити властивості первісних, потрібно знати таблицю первісних, яку ви повинні були вивчити до цього уроку. Перевірю, як ви її вивчили. Для цього виконайте тестові завдання в Coogleform. Час виконання 5 хвилин, кожне запитання оцінюється в 0, 5 бала, всього 12 запитань. Максимальна оцінка за тестові завдання  - 6 балів. Ссилка для тестів в вайбер групі. https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfv055tgdVPCo5RJfo8Hu0DFunDSaug_oKbymJUszxjV7WAxw/viewform?usp=sf_link

3.Вивчення нової теми.

Записуємо тему уроку в зошити і все‚ що буде записано на дошці під час уроку . Якщо комусь щось буде не зрозуміло‚ то запитуйте одразу .

Оскільки операція знаходження первісної(операція інтегрування) є оберненою до операції знаходження похідної(операція диференціювання)‚ то правила знаходження первісних випливають із відповідних правил знаходження похідних. Розглянемо три таких правила.

  1.Якщо F(x) є первісною для f(x) ‚ а G(x) – первісною для g(x)‚ то F(x)  + G(x) є первісною для f(x)+ g(x).

Справді ‚ оскільки F′(x)=f(x)‚ a G′(x)=g(x)‚ то (F(x)+G(x))′=F′(x)+G′(x)=f(x)+g(x).

Наприклад. Знайти загальний вигляд первісної для функції:  х²+1/х²

Оскільки однією з первісних для функції х² є х³/3‚ а для функції 1/х²- функція        -1/х‚ то первісна має загальний вигляд – +С

А зараз по одному учневі з кожного ряду до дошки. Знайти загальний вигляд первісної для функцій:

1)х³+ х; 2) х⁴ – х⁵; 3) х⁶ +х^-3.

Решта учнів працюють самостійно в зошитах. Хто раніше ніж на дошці і правильно виконає завдання отримає хорошу оцінку.

2.Якщо F(x) є первісною для f(x) ‚ а к- стала ‚ то кF(x) є первісною для кf(x). Дійсно ‚ оскільки сталий множник можна виносити за знак похідної ‚ то (кF(x))′ = кF′(x)=кf(x).

Отже ‚ сталий множник можна виносити за знак первісної.

Наприклад. Знайти загальний вигляд первісної для функції:  2х – х²

Одна з первісних для х дорівнює ‚ тоді за другим правилом знаходження первісних одна з первісних для функції 2х дорівнює х². Аналогічно ‚ для х² одна з первісних дорівнює ‚ а для х²   одна з первісних за другим правилом знаходження первісних . Загальний вигляд первісної х²- +С.

По одному учневі з кожного ряду до дошки. Знайти загальний вигляд первісної для функцій:

 1)12х²-х³ ; 2) 5х⁴+х²; 3) х⁴+9х⁶.

Решта учнів працюють самостійно в зошитах. Хто раніше ніж на дошці і правильно виконає завдання отримає хорошу оцінку.

3.Якщо F(x) є первісною для f(x)‚ а к і в – сталі (числа)‚ причому к 0‚ то F (кx+в) є первісною для f (кx+в).

Справді ‚ за правилами диференціювання

 (F (кx+в)) ′=F′(кx+в)∙к= f (кx+в).

Наприклад. Знайти загальний вигляд первісної для функції: 

За третім правилом знаходження первісних одна  з первісних для функції дорівнює . Отже ‚ загальним виглядом первісної є +С.

По одному учневі з кожного ряду до дошки. Знайти загальний вигляд первісної для функцій:

1. ; 2) ; 3) .

Решта учнів працюють самостійно в зошитах. Хто раніше ніж на дошці і правильно виконає завдання отримає хорошу оцінку.

4.Закріплення вивченого матеріалу.

Розглянемо застосування первісної  в геометрії, фізиці.

1. В геометрії (ст.81)

     Дано функцію f(x)=sinx знайти первісну, графік якої проходить через точку А().

Розв’язання. Знаходимо первісну. F(x)=-cosx+C. За умовою графік шуканої первісної проходить через точку А(). Тому підставляючи в загальний вигляд первісних замість х, а замість F(x), маємо: =-cos+=-+С С=1. Отже, шукана первісна  F₁(x)=-cosx+1.

Запишіть в зошити алгоритм знаходження загального вигляду первісної для даної функції‚ графік якої проходить через точку.

1.Знайти первісну для даної функції.

2.Підставити координати точки у знайдену первісну: у=F(x); х=х.

3.Прирівняти  рівняння до нуля, знайти його корені, тобто знайти значення С.

4.Підставити значення С в (1).

Біля дошки розв’яже один учень наступне завдання, решта – в зошитах.

Знайти загальний вигляд первісної для функціїf(x)=4х²+‚ графік якої проходить точку М(3;-2).

Розв’язання. F(x) = 4- +С;

Оскільки графік проходить через точку М(3;-2)‚ то

-2=∙3³-+С;

Звідки С=-35.

Отже, шукана функція F(x) = 4- -35.

Самостійно розв’яжіть наступне завдання.«Робота в парах»

(Обмінюються зошитами з сусідом за  партою і перевіряють)

№9.17. Для заданої функції знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А(2;-2),  f(x)=9х²-2х.

Розв’язання.

F(x) = 9- +С =3х³-х²+С;

           -2=3*2³-2²+С;

           С=22;          F(x) =3х³-х²+22.

2.В фізиці.

Якщо в задачі відомо закон прямолінійного руху тіла s=s(t), то щоб отримати його швидкість у момент часу t, потрібно знайти похідну: = sꞌ(t). Важливою є також обернена задача: за даною в кожний момент швидкістю визначити закон руху. Зрозуміло, що s(t) є первісною для функції (t).

Аналогічно, оскільки прискорення a(t)=ꞌ(t), то (t) – первісна для функції a(t). Таким чином можна відновити закон руху за заданою швидкістю, закон швидкості за заданим прискоренням.

    Розглянемо задачу з підручника ст.85.

 Точка рухається по прямій з прискоренням a(t)=-2t (м/с²). Знайти швидкість точки(t) як функцію від часу, якщо в момент часу  t=4с швидкість точки була 10 м/с.

Розв’язання: 1) (t) – первісна для а(t). Маємо:          

(t)=-2∙+С; (t)=-t² +С.  

2. Оскільки при t=4 маємо =10, 10=-4²+С; С= 26. Отже, шуканий закон швидкості (t)=26-t²

Розв’яжемо задачу біля дошки, яка пов’язана з вашою професією «Тракторист машиніст с/г виробництва. Водій автомобіля категорії «В» і «С»».

Водій автомобіля, який рухається прямолінійно по дорозі, при раптовій появі пішохода на проїжджій частині почав швидко гальмувати. Швидкість автомобіля при цьому змінюється за законом (t)=8-4t^. Чи здійснить водій наїзд на пішохода, якщо той знаходиться в момент початку гальмування на відстані 9 м від автомобіля.

Розв’язання.  Оскільки , то 8-4t=0; t=2с.

                     Знайдемо первісну: s=s(t)= 8t-; підставимо t=2с, отримаємо s=8м. Отже водій не здійснить наїзд на пішохода.

  3.Виконайте інтерактивну вправу  LerningApps «Встановіть відповідність між функцією і її первісною»               за посиланням

https://learningapps.org/display?v=p5uyck7d321

   в вайбер групі, зробіть фото результату, підпишіть його і скиньте у вайбер групу. Кожне запитання оцінюється в 0,5 балів.  Всього 12 запитань.  Оцінка за урок виставиться на основі всіх  видів роботи на уроці.

5.Підсумок уроку. Домашнє завдання.

Дайте відповіді на запитання:

• Як формулюється перша властивість первісної?
• Запишіть другу і третю властивість на дошці.
• Наведіть приклади застосування первісної.
• Що ви на даному уроці зрозуміли?
• Що для вас було незрозумілим?
• Про що ви хотіли б дізнатися на наступному уроці?

Коментую роботу кожного учня на уроці в тактовні й формі.  Оцінки на загал не оголошую, тільки індивідуально кожому учневі після уроку.

Запишіть домашнє завдання.

1.Вивчіть матеріали п.9

2.Виконайте завдання №9.8, №9.18.

Завдання на урок.

1. Виконайте тестові завдання в Coogleform. Час виконання 5 хвилин, кожне запитання оцінюється в 0,5 бала, всього 12 запитань. Максимальна оцінка за тестові завдання  - 6 балів. Ссилка для тестів в вайбер групі .
2. 1)х³+ х;            2) х⁴ – х⁵;         3) х⁶ +х^-3.
3. 1)12х²-х³ ;      2) 5х⁴+х²;    3) х⁴+9х⁶.
4. ;     2) ;    3) .
5.       Запишіть в зошити алгоритм знаходження загального вигляду первісної для даної функції‚ графік якої проходить через точку.

1.Знайти первісну для даної функції.

2.Підставити координати точки у знайдену первісну: у=F(x); х=х.

3.Прирівняти  рівняння до нуля, знайти його корені, тобто знайти значення С.

4.Підставити значення С в (1).

6. Знайти загальний вигляд первісної для функціїf(x)=4х²+‚ графік якої проходить точку М(3;-2).
7. Робота в парах . №9.17. Для заданої функції знайдіть первісну, графік якої проходить через точку А(2;-2),  f(x)=9х²-2х.
8. Водій автомобіля, який рухається прямолінійно по дорозі, при раптовій появі пішохода на проїжджій частині почав швидко гальмувати. Швидкість автомобіля при цьому змінюється за законом (t)=8-4t^. Чи здійснить водій наїзд на пішохода, якщо той знаходиться в момент початку гальмування на відстані 9 м від автомобіля.
9. Виконайте інтерактивну вправу  LerningApps «Встановіть відповідність між функцією і її первісною»               за посиланням   в вайбер групі, зробіть фото результату, підпишіть його і скиньте у вайбер групу. Кожне запитання оцінюється в 0,5 балів
10. Додаткові завдання для самостійної роботи

1. f(x)=4х³+2х-3х²-1‚ А(1;-1);
2. f(x)=1-2х+3х²-4х³‚ М(-1;-3);