Презентация к уроку на тему: «Теорема о трех перпендикулярах».

25 февраля Классная работа. Теорема о трёх перпендикулярах.

Цели урока: Обучающая: знать теорему о трех перпендикулярах и уметь применять ее при решении задач;обеспечить восприятие учебного материала с помощью презентаций; Развивающая: уметь логически мыслить, точно выражать свои мысли, творчески подойти к поставленной задаче; Воспитательная: воспитать точность, аккуратность, любовь к предмету; показать красоту предмета.

Теоретический опрос 1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые? Ответ: перпендикулярные. 2. Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей этой плоскости» Ответ: да. 3. Продолжите предложение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она...» Ответ: перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

4. Что можно сказать о двух (3-х, 4-х) прямых, перпендикулярных к одной плоскости? Ответ: они параллельны. 5. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, … Ответ: параллельны. 6. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? Ответ: как длина перпендикуляра, проведённого из точки к данной прямой. 7. Как называются отрезки: АМ - ?; АН -?; Точка М -?; Точка Н -?. Ответ: АМ – наклонная, АН- перпендикуляр, М- основание наклонной, Н - основание перпендикуляра α М А Н

Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведённому от лампочки к плоскости земли. Н а к л о н н а я Н а к л о н н а я П Е Р П Е Н Д И К У Л Я Р Проекция Проекция

1.Постройте перпендикуляр и наклонную к плоскости листа картона (используя палочки и пластилин). 2.Построите проекцию наклонной на плоскость . 3.Постройте прямую в плоскости , перпендикулярно наклонной и проходящую через её основание. 4.Выскажите предположение о расположении проведённой прямой и проекции наклонной. 5.Проверьте высказанное предположение с помощью модели прямоугольного треугольника. По рисунку запишите: наклонная… перпендикуляр… проекция наклонной на плоскость… Запишите символами: как расположена наклонная к прямой а, По вашему предположению как расположена проекция к прямой а. Выскажите гипотезу. Практическая работа.

А В С Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции, перпендикулярна и к самой наклонной. a Дано: АВ  , АС - наклонная к , ВС – проекция наклонной АС на , а  , а  ВС. Доказать: а  АС.

1. Откладываем на прямой а произвольные, но равные отрезки СD = СЕ; 2. Соединяем отрезками точки А и В с точками D и Е. Тогда имеем: ВD = ВЕ как наклонные к прямой DЕ с равными проекциями СD и СЕ. АD = АЕ как наклонные к плоскости α , которые имеют равные проекции ВD и ВЕ. Следовательно ∆ АDЕ – равнобедренный, значит его медиана АС  к основанию DЕ. А В С a Е D

Обратная теорема. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. А В С a Дано: АВ , АС -наклонная к , ВС –проекция наклонной АС на , а  , а  АС. Доказать: а  ВС.

Верно ли утверждение: «Если из двух различных точек, не принадлежащих плоскости, проведены к ней две равные наклонные, то их проекции тоже равны»? Ответ: Нет. А В С D

Задача № 2 Дано: АВСD –квадрат. АК  (АВСD) Доказать: K А D С В Доказательство. АК  (АВСD) по условию, ВК – наклонная, АВ – проекция КВ на плоскость (АВСD), ВС  АВ ( как смежные стороны квадрата), Тогда ВС  ВК ( по теореме о трех перпендикулярах). Что и требовалось доказать. Из вершины А квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр АК к его плоскости. Докажите, что ВС перпендикулярно КВ.

Основание ABCD пирамиды SABCD – прямоугольник, AB < BC. Ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Среди отрезков SA, SB, SC и SD укажите наименьший и наибольший. Ответ: SD – наименьший; SB – наибольший. S D A B С

Верно ли, что две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны. Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости? Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости? Могут ли две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости? Верно ли, что две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны? Могут ли пересекаться две плоскости, параллельные к одной прямой ? Верно ли, длина перпендикуляра меньше длины проекции наклонной, проведенной из той же точки? Самостоятельное выполнение заданий

Критерии оценок 7 правильных ответов – 5 баллов 6 правильных ответов – 4 балла 5 правильных ответов – 3 балла Вопрос 1 2 3 4 5 6 7 Ответ + - - - - - +

I уровень.(на 3 балла) Дано:, АС ┴ ВС, SA = SB = SC =10 см; СМ =5 см –медиана. Найти: SM (расстояние от точки S до плоскости (АВС)). II уровень ( на 4 балла ) Дано: ABCD – прямоугольник; АК ┴ (АВС), KD= 6 см, КВ = = 7 см, КС = 9 см. Найти: расстояние от точки К до (АВС). III уровень.( на 5 баллов) Дано: АВ = 17 см, АС = 15 см, ВС = 8 см, АМ ┴ (АВС), <А – меньший, АМ = 20 см. Найти: МЕ.

§ 39 Ответить на вопросы 1-4. № 246, 248, 251(1) Дополнительная задача: Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость α. Найдите расстояние от прямой ВС до плоскости α, если площадь ромба равна 80 ,высота – 8 см, а угол между проекцией стороны CD и прямой AD равен 45 градусов.

Рене Декарт