Презентація " Кут між площинами. Ортогональна проекція многокутника на площину"

Кут між двома площинами. Ортогональна проекція многокутника на площину.

Кут між площинами.

Задача 37.11⁰. Відрізок ВК перпендикулярний до площини ромба ABCD. АВС= 120⁰. Знайдіть кут між площинами АВК та СВК. АВКСD120 ° 1. ВК⊥(АВС), ABCD – ромб, АВ=ВС=СD=DA, ⇒ ВК⊥ АВ, ВК⊥ ВС, ВК = АВК ⋂СВК, АВС= 120⁰. Тоді за означенням кута між площинами маємо АВС= 120⁰, та суміжний з ним АВР= 60⁰-за означенням про величину меншого з двогранних кутів. Р

𝟎<𝝋<90⁰ 

Розв’язання задач. Задача 37.18. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 10см і 18см, а бічна сторона – 8 см. Знайдіть площу проекції даної трапеції на площину α, якщо кут між площиною трапеції та площиною α дорівнює 30⁰.18108 ABCDKOαРозв’язання1. Проекцією рівнобічної трапеції ABCD на площину α є трапеція AOTD. ТАBCDK2. Проведемо висоту ВК трапеції ABCD, ВК⊥AD. (ВО⊥α) теоремою про три перпендикуляри ОК⊥AD. Отже, ОК – висота трапеції AOTD3. Оскільки ВК⊥AD та ОК⊥AD, то ВКО – кут між площиною даної трапеції та площиною проекції AOTD. ВКО = 30⁰4. Скористаємося формулою 𝑆пр=𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷∗𝑐𝑜𝑠 ВКО.  5. Обчислимо 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷. Виконаємо зноску трапеції окремо.  6. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷+𝐵𝐶2∗𝐵𝐾. Знайдемо ВК. ВК⊥AD, АК=𝐴𝐷−𝐵𝐶2; АК=4см.∆АКВ (К=90⁰), АВ= 8см ВК=АВ2−АК2. ВК=43см. . 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷=563.см2 7. 𝑆𝐴𝑂𝑇𝐷=𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷∗𝑐𝑜𝑠 ВКО; 𝑆𝐴𝑂𝑇𝐷=563*cos30⁰=563*32=84(см2). 

Розв’яжіть по зразку ( слайди 19 -20)Задача 1. Перенесіть таблицю в зошит і заповніть порожні комірки.

Задачі. Домашнє завдання.№ 1. Ортогональною проекцією паралелограма є ромб, сторона якого дорівнює 13см, а одна із діагонелей – 10см. Знайдіть площу паралелограма, якщо кут між площинами паралелограма і ромба дорівнює 30⁰. №2. У ромбі АВСD АВ=8см, ВАD=45⁰. З вершини В до площини ромба проведено перпендикуляр ВК. Площина АКD утворює з площиною ромба кут 60⁰. Знайдіть: 1) відстань від точки К до площини ромба; 2) площу трикутника АКD. № 3.№4

№ 1. Ортогональною проекцією паралелограма є ромб, сторона якого дорівнює 13см, а одна із діагонелей – 10см. Знайдіть площу паралелограма, якщо кут між площинами паралелограма і ромба дорівнює 30⁰. MРозв’язанняα1. АВСD – паралелограм, його ортогональною проекцією на площину α є ромб АКМD зі стороною АК=13см та діагоналлю КD=10cм; ((АВСD);(AKMD))=30˚. DK2. Знайдемо площу паралелограма скориставшись формулою,де 𝑆пр−це 𝑆𝐴𝐾𝑀𝐷, a 𝑆ф−це 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷,((АВСD);(AKMD))= φ=30˚. ABCЕ3. Проведемо ВЕ ⊥ AD, де ВЕ – висота паралелограма АВСD, тоді КЕ ⊥ АD, де KE– де ромба АКМD (за теоремою про три перпендикуляри). Оскільки ВЕ ⊥ AD та КЕ ⊥ АD, то ВЕК= φ=30˚- кут між площиною паралелограма АВСD і площиною проекції α (ромба АКМD), отже, ВЕК- лінійний кут двогранного кута з ребром АD. 4. Знайдемо площу ромба. Розглянемо ромб АКМD. АD=13см, діагоналлю КD=10cм. Проведемо АМ – діагональ, АМ∩КD=т. О, КО=ОD=5см, АО=ОМ, АМ⊥КD(за властивістю діагоналей ромба). Розгл. ∆АОD(О=90˚) АО=132−52=12см, АМ=24см. 𝑆𝐴𝐾𝑀𝐷=12∗АМ∗К𝐷; 𝑆𝐴𝐾𝑀𝐷= 12∗24∗10=120𝑐м2. О5. Знайдемо площу паралелограма АВСD . 𝑆𝐴𝐾𝑀𝐷=  𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷*cos ВЕК. Звідси ,  𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆𝐴𝐾𝑀𝐷cos ВЕК==120с𝑜𝑠300=12032=803  см2. Відповідь:803  см2. 

АВСDЗадача 2. У ромбі АВСD АВ=8см, ВАD=45⁰. З вершини В до площини ромба проведено перпендикуляр ВК. Площина АКD утворює з площиною ромба кут 60⁰. Знайдіть: 1) відстань від точки К до площини ромба; 2) площу трикутника АКD. Розв’язання. KMАВСD- ромб зі стороною АВ=8см та ВАD=45⁰. З вершини В до площини ромба проведено перпендикуляр ВК. Площина АКD утворює з площиною ромба кут 60⁰.2. ВМ-висота ромба АВСD, ВМ⊥АD, КМ⊥АD, КМ – висота ∆АКD(за теоремою про три перпендикуляри). Оскільки КМ⊥AD та ВМ⊥АD, то ВМК= φ=60˚- кут між площиною ∆АКD і площиною ромба АВСD, отже, ВМК- лінійний кут двогранного кута з ребром АD. Ромб АВСD зі стороною АВ=8см та ВАD=45⁰. ВМ⊥АD( за побудовою) . Розгл. ∆АВМ(АМВ=90˚), АВ=8см- гіпотенуза, ВАМ=45⁰, тоді sin ВАМ=ВМАВ; ВМ=АВ* sin ВАМ; ВМ= 8* sin45˚=8*22=42см.  𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷=ВМ*AD =8*42=322см2.  4. Знайдемо відстань від точки К до площини ромба АВСD, КВ⊥АВСD, ВМ⸦АВСD, то КВ⊥ВМ( за означенням перпендикулярності прямої до площини) Отже, ∆КВМ(КВМ=90˚), ВМК= 60˚, ВМ= 42см, тоді tgВМК=КВВМ ; КВ=ВМ* tgВМК; КВ=42 * tg 60˚=42 *3 =4𝟔см, sinВМК= КВКМ; КМ=КВsin ВМК; КМ=46sin60°=4632=46∗23=82 см. Звідси 𝑆𝐴К𝐷=12*КМ*АD; 𝐒𝐀К𝐃=12*82 *8= 32𝟐см𝟐. Відповідь: 1)КВ= 46см; 2) 𝑆𝐴К𝐷=322см2. 

Розв’язування задач за малюнком. Задача 1. Дано: ∆А1 В1 С1 - ортогональна проекція ∆АВС на площину, А1 В1=14см, В1 С1=16см, А1 С1=6см. 𝑆АВС=48см2. Обчислити кут між площиною ∆АВС і площиною його проекції (∆А1 В1 С1 ) αАСВ14166 В1 А1 С1 S=48см2 b. Задача 2. Домашнє завдання. Ортогональною проекцією даного трикутника є трикутник зі сторонами 13см, 14см, 15см. Площина трикутника утворює з площиною кут 60⁰. Обчисліть площу даного трикутника. Задача 3. Трикутник А1 В1 С1 є ортогональною проекцією трикутника АВС зі сторонами 36см, 34см і 14см. Знайдіть кут між площинами трикутників, якщо трикутник А1 В1 С1- прямокутний із катетами 12см і 28см.

Розв’язування задач за малюнком. Самостійно. Задача 4. Дано:∆ ВАС,  АВС=90˚ і ∆В1 АС,АС=16см спільна, АВ=ВС,АВ1=В1 С=17см, ((ВАС);(В1 АС))=60⁰. Знайти: відстань між вершинами- ВВ1 ?1617 В1 АВСКДодаткова побудова60⁰КЗадача 5. Домашнє завдання. Рівнобедрені трикутники мають спільну основу, що дорівнює 16см. Відстань між вершинами цих трикутників дорівнює 13см. Бічна сторона одного трикутника 17см. Другий трикутник прямокутний. Знайдіть кут між площинами цих трикутників. Задача 6. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 20см і 8см, а бічна сторона – 10 см. Знайдіть площу проекції даної трапеції на площину α, якщо кут між площиною трапеції та площиною α дорівнює 60⁰.

Розв’язування задач за малюнком. Задача 7. Через гіпотенузу АВ прямокутного трикутника АВС проведено площину β. Катет АС утворює з площиною β кут 60⁰. Знайдіть відстань від точки С до площини β, якщо АВ=10см, ВС=8см. Задача 8. Домашнє завдання. Через гіпотенузу АВ прямокутного трикутника АВС проведено площину α. Відстань від точки С до площини α дорівнює 6см. Який кут утворює пряма ВС з площиною α, АВ=14см,а АС=5см?βАВС60⁰КЗадача 9. Ортогональною проекцією правильного трикутника на площину, що містить одну з його вершин, є рівнобедрений трикутник з бічною стороною 313см. Сторона правильного трикутника 12см. Обчислити кут між площинами цих трикутників. 

Дякую за увагу.