Презентація Квадратична функція

КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ, її властивості, графік. Квадратичні рівняння, нерівності та їх системи.

I Означення функції: Функція виду y=ax2+bx+c (a≠0), де a,b,c – деякі числа, називається квадратичною.

(-∞; (-b-√D)/2a)U ((-b+√D)/2a;+∞) ((-b-√D)/2a; (-b+√D)/2a) y<0 y=-b/2a ____ _____ y=-b/2a 6. Найбільше та найменше значення ((-b-√D)/2a; (-b+√D)/2a) (-∞; (-b-√D)/2a)U ((-b+√D)/2a;+∞) 5. Проміжки снакосталості: y>0 [-b/2a;+∞) спадає (-∞;-b/2a] [-b/2a;+∞) 4. Монотонність: зростає при x=(-b±√D)/2a при x=(-b±√D)/2a 3. Нулі функції: y=0 (-∞;-b/2a) [-b/2a;+∞) 2. E(f) R R 1. D(f) a<0 a>0 властивості II Властивості функції

a<0 a>0 D<0 D=0 D>0 y y y y y y x x x x x2 x1 x x1 x2 x x Графік

Види неповні зведені повні ax2+c=0 ax2+bx=0 x2+px+q=0 ax2+bx+c=0 ax2+c=0 x2=-c/a; x=±√-c/a б) ax2+bx=0; x(ax+b)=0 1) x=0; 2) ax+b=0; x=-b/a III Квадратні рівняння

ax2+bx+c=0 D=b2-4ac D=<0 коренів немає D>0 x1≠x2 x1,2=(-b±√D)/2a два корені D=0 x1=x2 x1=-b/2a один корінь Розкладання квадратного тричлена на множники ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) ax2+bx+c=a(x-x1)2 не можливо Теорема Вієта для зведеного рівняння x2+px+q=0 сума коренів x1+x2=-p; добуток коренів x1x2=q

План ??? 1. Зводимо нерівність до загального виду, де a>0. 2. Знайти корені квадратного рівняння ax2+bx+c=0. 3. Нанести корені рівняння на координатну пряму і знайти знайти знаки функції y= ax2+bx+c на кожному із проміжків. 4. Сопоставити знак нерівності зі знаком проміжків а) > або ≥ знаку “+” б) < або ≤ знаку “-”. 5. Записати відповідь.

Розв’язків немає x=x1 [x1;x2] ax2+bx+c≤0 xєR xєR xє(-∞;x1]U[x2;+∞) ax2+bx+c≥0 Розв’язків немає Розв’язків немає xє(x1;x2) ax2+bx+c<0 xєR xє(∞;x1)U(x1;+∞) xє(-∞;x1)U(x2;+∞) ax2+bx+c>0 D<0 D=0 D>0

+ - + -8 6 Приклад 1 Приклад 2 а) x2+2x-48>0 а) x2-10x-+25≥0 1. x2+2x-48=0 x1=-8; x2=6 2. 3. xє(=∞;-8)U(6;+∞) б) x2+2x-48<0 xє(-∞;6)

x1 x2 -1 5/3 + + - План розв’язування квадратних нерівностей методом інтервалів 1. Позначаємо праву чатину нерівності y=ax2+bx+c. Знаходимо нулі функції 2. Наносимо нулі функції на координатну пряму і знаходимо знак функції на кожному із проміжків. 3. Сопоставляємознак функції зі знаком нерівності. 4. Записуємо відповідь. Наприклад:

Квадратний тричлен Квадратним тричленом називають многочлен виду ax2+bx+c, де x-змінна; a,b,c- деякідійсні числа, причому а≠0. Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, при якому значення цього тричлена дорівнює нулю. Наприклад: коренем тричлена 3x2-2x-5 є число -1, бо при x=-1 маємо 3(-1)2-2(-1)-5=0. Квадратний тричлен ax2+bx+c має не більше двох коренів: 1) якщо D=b2-4ac<0, то квадратний тричлен не має коренів; 2) якщо D=b2-4ac=0, то квадратний тричлен має два рівних корені x1=x2=-b/2a; 3) якщо D=b2-4ac>0, то квадратний тричлен має два різних корені x1,2=(-b±√D)/2a; Число D=b2-4ac називають дискримінантом квадратного тричлена. Теорема Вієта Якщо x1 і x2 – корені квадратного тричлена ax2+bx+c, то виконуються рівності x1+x2=-b/a та x1·x2=c/a