Автор  уроку:  Гладкевич Алла Володимирівна, учитель Кумарівської ЗОШ І-ІІІ ступенів, спеціаліст вищої кваліфікаційної категорії.

Предмет:  алгебра.                                                                                   

Клас:  9.

Тема: Арифметична та геометрична прогресії навколо нас.

Мета уроку: узагальнити знання учнів з теми «Арифметична та геометрична прогресії»; формувати практичні навички  застосування арифметичної та геометричної прогресій при розв’язування задач прикладного змісту в різних галузях наук; формувати ключові, предметні і міжпредметні компетентності; усвідомити цінність знань для життя; розвивати творчу та розумову діяльність, логічне мислення, монологічне і діалогічне математичне мовлення, вміння аналізувати та чітко і  зрозуміло висловлювати  власну думку;  самостійно здобувати знання, використовуючи різні інформаційні технології; виховувати інтерес до предмета, працьовитість, креативність, ініціативність, активність, вольові якості, цілеспрямованість, впевненість у собі та вміння працювати у колективі.

Очікувані результати навчально-пізнавальної діяльності учнів:

Учень (учениця):

- наводить приклади: числової послідовності; арифметичної та геометричної прогресій;

- формулює означення і властивості арифметичної та геометричної прогресій;

-   записує і пояснює:

·   формули: n-го  члена арифметичної та геометричної прогресій, суми перших n членів цих прогресій;

·   властивості арифметичної та геометричної прогресій

-  розв’язує вправи, що передбачають: обчислення членів прогресії; задання прогресій за даними їх членами або співвідношеннями між ними; обчислення сум перших n членів арифметичної й геометричної прогресій; використання формул загальних членів і сум прогресій для знаходження невідомих елементів прогресій.

-  усвідомлює значення математики для повноцінного життя в сучасному суспільстві.

Обладнання:  ноутбуки,  під’єднані до інтернету,  для кожної групи,  гаджети з читанням QR-кодів, картки самооцінювання «Долоня моїх досягнень», «кейси» для учнів, вислови видатних людей про математику,  відеоролики, мультимедійна презентації до уроку.

Програмне забезпечення: операційна система Windows 2007, MS Word, MS Power Point,  контрольно-діагностуюча  система сайту  «Мій клас», «Test Pad», «Formula»,  «Word Art».

Методи і прийоми:

* словесні: вправа  «Рука взаємодопомоги», бесіда, валеохвилинка;

* наочні: робота з кейсами;

* практичні:, самостійна робота, робота в групах.

Міжпредметні зв’язки: біологія, хімія, фізика, інформатика.

Місце проведення: кабінет математики.

Тип урок: узагальнення та систематизації знань, умінь та навичок (за Case-технологією з використанням ІКТ).

Оформлення дошки:

По центру: запис теми уроку.

Справа: епіграф уроку «...Математика безмежно різноманітна, як світ, і присутня, міститься в усьому» (М.П. Єругін).

Слайд 1 ПЕРЕБІГ УРОКУ

І. Мотиваційний етап.

1. Створення емоційно-позитивної атмосфери уроку. Вправа «Рука взаємодопомоги».

Учитель.  Доброго дня, шановні учні! Запрошую вас  поринути сьогодні знову  у безмежний та незвіданий світ математики. Нам часом здається, що математика складна, іноді незрозуміла наука. Але факти переконливо свідчать про те, що  ми з вами живемо в світі, який тісно пов'язаний з математикою. 

 «Жодне людське дослідження не може називатись істинною наукою, якщо воно не пройшло через математичні доведення». (Леонардо да Вінчі). Тому з впевненістю можна сказати, що математика – це рушійна сила прогресу.

         Слайд 2 Прогрес  – це рух,  це велич, це зростання,

Як Україні зараз він потрібний,

Прогресії – його сестриці рідні,

Це школа, математика, навчання.

І кожен з нас як аксіому знає:

Без математики на ноги нам не стати,

Тож хай лунає лозунг наш крилатий

«Прогресу без прогресій не бувати!»

Відео Перед тим, як поринути у захоплюючий світ прогресій, для  плідної  і  творчої роботи пропоную вам переглянути відеоролик. (Перегляд мотиваційного відеоролика). Який висновок можна зробити?

Орієнтовні відповіді:

• при дружній підтримці не страшні будь-які перешкоди;
• команді все під силу;
• взаємодопомога і взаємопідтримка – важливі чинники у роботі;
• разом досягається успіх.

Слайд 3 Учитель. Дійсно, коли відчуваєш поряд надійну руку свого товариша, то впевнено підкорюєш вершини. Тож візьмімося за руки, передамо одне одному імпульси впевненості і готовності працювати злагоджено та успішно. (Учні беруться за руки). Постійно тримайте  руки на пульсі, а п’ять пальців долоні впевнено керуватимуть  вами, прокладаючи стежки до успіху і відображатимуть рівень ваших досягнень на кожному етапі уроку. За допомогою зображень різних смайлів ви будете фіксувати свої результати в картці самооцінювання «Долоня моїх досягнень», що лежать на партах.

І смайл – 1 бал;

ІІ смайл – 2 бали;

ІІІ смайл – 3 бали;

Слайд 4 2. Актуалізація опорних знань учнів. (Тестування на платформі «Test Pad»). 

 Учитель. На сьогоднішньому уроці ми будемо розв’язувати задачі  на хіміко-фізико-біологічно-математичні теми. Побачимо,  як  знання та вміння,  які ви здобули  на попередніх уроках,  застосовуються  у житті та в інших науках. Для успішного виконання завдань ви маєте перевірити рівень своєї підготовки до уроку. А  допоможе вам в цьому вже відома онлайн-платформа «Test Pad». З правилами  роботи ви вже знайомі, тож скануйте GR-код і приступайте до роботи. 

Учні виконують завдання  і відображають свій результат у картці самооцінювання.

Ось ви вже можете показати рівень своєї готовності до уроку на великому пальці вашої долоні. Прикріпіть відповідний смайлик.

ІІ. Етап цілевизначення і планування діяльності.

1. Ознайомлення учнів із темою.

Учитель. Сьогодні на уроці ми підіб’ємо підсумки  однієї з найцікавіших тем математики – прогресії. Їх внутрішня гармонія, строга витончена краса роблять теорію арифметичної і геометричної прогресії відображенням навколишнього світу, що існує незалежно від нас, нашої свідомості. Тема нашого сьогоднішнього уроку заховалася в хмару. Ваше завдання: Слайд 5 розшифрувати тему уроку.

Учні формулюють тему уроку.

2. Робота з епіграфом.

Слайд 6 Учитель. Зверніть увагу на епіграф уроку. «Математика безмежно різноманітна, як світ, і присутня, міститься в усьому» (М.П. Єругін).  Як ви розумієте цей вислів?

Орієнтовні відповіді:

• математика супроводжує нас у всьому;
• без математики неможливе існування людства;
•  всі науки тісно пов’язані з математикою;
• математика прекрасна і цікава;
• весь світ – то є цифри.

І сьогодні ви ще раз у цьому переконаєтеся.

3. Узгодження цілей і плану уроку. Вправа «Хмара очікувань»

Слайд 7 Учитель. Прошу вас створити хмару власних очікувань від уроку за допомогою програми Word Art. (Учні створюють і озвучують хмару власних очікувань).

Орієнтовні відповіді:

- змінити свій погляд на прогресії, побачити  шлях до успішного життя;

- виконати завдання, одержати найсприятливіший результат;

- взяти щось важливе, навчитись чогось нового на цьому уроці;

- визначити роль, яку відіграють прогресії у повсякденному житті;

- дізнатися багато цікавого;

- отримати гарний настрій та задоволення від роботи.

Учитель. Сьогодні на уроці ми застосуємо «кейс-метод». Для успішної роботи  ви об’єдналися у 3 групи.

Слайд 8 Отже, враховуючи  ваші очікування від уроку, я пропоную побудувати нашу діяльність таким чином:

1.        Робота з матеріалами кейсів.
2.        Розв’язування проблеми.
3.        Самооцінювання  та взаємооцінювання роботи групи.

ІІІ. Опрацювання навчального матеріалу.

1. Отримання та обговорення завдання

Учитель.  Під час роботи з  «кейсами»  ви  ознайомитесь з історією виникнення та розвитку поняття послідовності, визначите роль арифметичної та геометричної прогресій  у природничих науках: біології, хімії та фізиці, побачите, як використовуються знання математичних понять для розв’язання «живих» задач, а також докладете немало зусиль, щоб переконати нас, що весь світ навколо нас – це закономірності, процеси, які описуються законами, в тому числі й математичними. У вас на партах є алгоритми роботи за матеріалами кейсів.  Тож бажаю вам успіхів!

Слайд 9Алгоритм роботи за матеріалами кейса:

1. Опрацюйте матеріали кейса.

2. Виступіть із пропозиціями щодо розв'язання задачі.

       3. Виконайте обчислення.

4. Оцініть результати та зробіть висновки.

Слайд 10   2. Робота з І кейсом. (10 хв)

Учитель. Ми живемо в третьому тисячолітті та історичні факти,  які відкриваються дослідниками, як відлуння древніх епох не втрачають своєї актуальності. Послідовність,  прогресії – явище, без перебільшення, унікальне. Історія їх виникнення сягає глибини віків. Уже в клинописних таблицях вавилонян, у єгипетських папірусах, датованих другим тисячоліттям до нашої ери, зустрічаються задачі на арифметичну прогресію.

То ж приступаємо до роботи з  «кейсом І»  «Історія виникнення числових послідовностей». Пропоную вам зануритися у минуле, ознайомившись з матеріалами «кейсу 1» та дати відповідь на запитання. Інформація кейсу допоможе розв’язати історичні задачі.

Учні опрацьовують матеріали «кейсу І».

Учитель. Ви збагатилися новими знаннями.  Тож тепер маєте можливість застосувати їх під час розв’язування історичних задач. Всі необхідні обчислення будете виконувати на платформі «Formula». Ви маєте вирішити наступні проблеми:

Слайд 11 І група: Скільки грошей отримав багатій у задачі «Милостиня» і чи вигідні були йому такі умови? (задача 1)

ІІ група: Скільки ран мав отримати  воїн, щоб залишитися живим і мати винагороду в задачі «Винагорода воїна»? (задача 2)

ІІІ група: Скільки грошей повинен був  заплатити за дорогу скнара і хто залишився у виграші? (задача 3)

 Учні розв’язують старовинні задачі, презентують вирішення поставлених проблем в задачах від кожної групи із записом на дошці  та оцінюють свою роботу.

 Слайд 18   3. Робота з ІІ кейсом. (10 хв)

 Учитель.  Дякую за плідну роботу. Багатьом здається, що математика, це така наука, яка не має жодного зв’язку з природою, тваринним світом, але тривале життя прогресій зумовлене не тільки їх цікавими математичними властивостями, а й широким застосуванням в інших науках. Саме в цьому ви переконаєтеся, працюючи з «кейсом ІІ» «Роль прогресій у прикладних задачах з біології, фізики, хімії та інших наук».

Учні опрацьовують матеріали «кейсу ІІ».

Учитель. Отже, попрацювавши з кейсом, ви маєте вирішити наступні проблеми:

Слайд 19 І група. Скільки бактерій стане в організмі  через добу? (задача 1)

ІІ група. Скільки секунд падатиме тіло з висоти 1960 м? (задача 2)

ІІІ група. Якою буде температура сплаву через 10 хвилин після початку хімічної реакції? (задача 3)

 Учні розв’язують  задачі, презентують вирішення поставлених проблем в задачах від кожної групи, звіряють результати із розв’язками на слайді презентації вчителя  та оцінюють свою роботу.

Учитель. Дякую вам за роботу. Як ми переконалися, прогресії застосовуються не тільки в математиці. Знання прогресій потрібні і в багатьох інших галузях. Пропоную трішки відпочити після напруженої праці.

Слайд 26 4.Валеохвилинка.

Учні сидять прямо, руки вільно лежать на столі, очі заплющені, подумки повторюють за вчителем слова.

Учитель. Я дихаю вільно. Моє тіло стає легким, наповнюється життєдайним повітрям. М’язи відпочивають. Мені приємно на душі. Я бажаю собі і всім людям добра, миру, любові і здоров’я. Маю надію, що ваші сили відновилися для  подальшої роботи. (Учні відпочивають)

Слайд 275. Робота з ІІІ кейсом. (10 хв)

Учитель. А тепер з новими силами приступаємо до роботи над останнім кейсом «Значення  прогресій для повсякденного життя людини». Ви переконаєтеся в тому, за допомогою прогресій вирішуються багато проблем у різних галузях повсякденного нашого життя ІІІ кейс «Значення  прогресій для  повсякденного життя людини».

Учні опрацьовують матеріали «кейсу ІІІ».

Слайд 28 Учитель. Отже, попрацювавши з «кейсом ІІІ», ви маєте вирішити наступні проблеми:

І група. Яка  довжину дроту, необхідна для виготовлення стержнів для теплиці? (задача 1)

ІІ група. Чи укладете ви з фірмою договір не менш ніж на 20 днів за даних умов? (задача 2)

ІІІ група. Скільки глядачів проголосувало за своїх улюблених учасників протягом 30  хвилин від початку голосування? (задача 3)

Учні розв’язують задачі, презентують вирішення поставлених проблем, звіряють відповіді з вчителем  та оцінюють свою роботу.

Учитель.  Дякую вам за титанічні зусилля під час роботи над кейсами. Як ми переконалися, прогресії застосовуються не тільки в математиці, а й у повсякденному житті. Щодня ми зустрічаємось з різними задачами, інколи навіть не помічаючи того,  що вони можуть виявитися складовою цікавої математичної історії. Без задач ми ніколи  не обійдемося, тож розв’язуйте їх і насолоджуйтеся красою і витонченістю цариці наук.

ІV. Рефлексивно-оцінювальний етап.

Слайд 35

1. Бесіда. Притча Плутарха.

Учитель. Йшов мудрець, а назустріч йому три людини, які везли під гарячим сонцем візок з каменями для будівництва. Мудрець зупинився і задав кожному з них питання. У першого запитав: «Що ти робив цілий день?».  І той з усмішкою відповів,  що цілий день возив камені. У другого мудрець запитав: «А що ти робив цілий день?». І той відповідав: «А я сумлінно виконував свою роботу».  А третій посміхнувся, його обличчя засвітилося радістю і задоволенням – «А я брав участь у будівництві храму». Шановні діти, ви теж сьогодні дуже гарно працювали, тож поділіться своїми враженнями від роботи на уроці. 

Слайд 36

-   Хто возив камені?

-  Хто сумлінно працював?

-  Хто будував храм?

2. Оцінювання учнів. 

Учитель. Шановні діти! Я безмежно вдячна вам за таку цікаву і плідну роботу. Прошу лідерів груп оцінити участь кожного в роботі, а кожного –  оцінити роботу лідера з керівництва групою і відобразити це відповідним смайлом на ваших долонях. Ви постійно тримали руку  на пульсі, а п’ять пальців долоні впевнено керували Вами, прокладаючи стежки до успіху!

(Учні оцінюють роботу одне одного)

Можливо, дехто сьогодні почував себе не дуже впевнено? Але не біда. (Звертає увагу на вислови на дошці)   

                              Слайд 37

      Можуть всі – може кожний!

                                    Пробуй, якщо не вийде – пробуй ще!

                                    Неуспіх – недостатність зусиль!

Ваш успіх попереду ! Важливо не втрачати бажання на шляху до нього! 

Слайд 38

3. Домашнє завдання.

Обов'язкове: Виконати завдання для підготовки до контрольної роботи на платформі «Мій клас».

За бажанням: Дослідити застосування прогресій в галузях  «Мистецтво» та  «Література».

Слайд 39

4. Заключне слово учителя.

Урок на сьогодні завершено,

Але кожен повинен знати:

Прогресії неперевершені!

Прогресу без прогресій не бувати!

Дякую всім!

 

 

 

 

 

 

 

 

Додаток 1

Лист

оцінювання навчальних досягнень

учня/учениці 9 класу

 

№ з/п	Вид роботи	Максимальний бал	Оцінка
1	Тестування на платформі «Test Pad»	2
2	І кейс	3
3	ІІ кейс	3
4	ІІІ кейс	3
5	Взаємооцінювання роботи	1

 

 

Додаток 2

Матеріали І кейсу

Презентація «Історичні  відомості  про  прогресії» (https://www.slideshare.net/Valyu66/ss-55252303)

Поняття числової послідовності виникло і розвивалося задовго до створення вчень про функції. Перші спогади про арифметичну прогресію були ще у прадавніх народів. Задачі на прогресії, які дійшли до нас із давнини,  були зв‘язані з життєвими потребами людини: розподіл продуктів, поділ спадщини та інше.  На зв‘язок між прогресіями вперше звернув увагу великий АРХІМЕД.

Стародавній Єгипет

Вважалось, що в давньоєгипетському папірусі Ахмеса перебувала найдавніша задача на прогресії про винагороду винахідника шахів, що нараховує за собою двохтисячорічну давнину.

 Але є набагато більш стара задача про ділення хліба, яка записана в знаменитому єгипетському папірусі Ринда, що відноситься, можливо, до третього тисячоріччя до нашої ери.

Задача: (з папірусу Ринда) Сто мір хліба розділили між 5 людьми так, щоб другий одержав на стільки ж більше першого, на скільки третій одержав більше другого, четвертий більше третього й п'ятий більше четвертого. Крім того, двоє перших одержали в 7 раз менше трьох інші. Скільки потрібно дати кожному?

Використання  прогресій  у стародавніх   вавилонян

У клинописних табличках вавилонян, як і в єгипетських папірусах, які належать II тисячоліттю до нашої ери, зустрічаються приклади арифметичної і геометричної прогресії.  

З однієї клинописної таблички можна зробити висновок, що, спостерігаючи за Місяцем, вавилоняни дійшли висновку: за перші 5 днів після нового місяця зростання Місячного диска відбувається за законом геометричної прогресії із знаменником 2

Англія XVIII ст.

В ХVIII ст. в англійських підручниках з‘явилося позначення арифметичної та геометричної прогресій:

АРИФМЕТИЧНА: ГЕОМЕТРИЧНА:

Німеччина

Одного разу на уроці у третьому класі, де навчався Карл Гаусс (з часом відомий     німецький математик), учитель запропонував знайти суму чисел від 1 до 100. Гаусс закінчив обчислення, ледве вчитель закінчив коментувати завдання.
    Розв‘язання

1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 99 = (1 + 99) + (2 + 98) + …… + (49 + 51) + 50 = 100 ∙ 49 + 50 = 4900 + 50 = 4950

Цю  суму    можна  знайти,  як  суму  99  перших  членів  арифметичної  прогресії,   у  якої  а₁=1, d=1

      Задача-легенда.  З поняттям прогресії пов’язані різні історії і легенди. Ось одна з них задача-легенда.

Індійський правитель Шерам покликав до себе винахідника шахової гри, свого підданого Сету, щоб нагородити його за винахід.

Сету захотів за першу клітинку шахової дошки 1 пшеничне зерно, за другу 2 зернини, за третю – 4 зернини і т.д. Потішенний  цар посміявся над Сетою і наказав видати йому таку «скромну» нагороду. Але  правитель не зміг виконати бажання Сети. Чому? Чи варто царю сміятися?

Цікаві факти. Якби царю вдалося засіяти пшеницею всю площу поверхні Землі, враховуючи моря, океани, гори, пустині і отримати задовільний результат, то років через 5 він зміг би розрахуватися.

Таку кількість пшениці можна зібрати лише з поверхні, яка в 2000 раз більша за поверхню Землі. Це набагато більше за ту кількість пшениці, яка була зібрана до нашого часу.

І група. Задача №1 «Милостиня»

Одного разу розумний бідняк попросив у скупого багатія притулку на 2 тижні на таких умовах: «За це я тобі першого дня заплачу 1 крб., другого –     2 крб., третього  3 крб., збільшуючи щоденну плату на 1 крб. Ти ж будеш давати мені милостиню:

Першого дня – 1 коп., другого дня – 2 коп., третього – 4 коп., і т.д. збільшуючи щодня милостиню вдвічі». Багатій з радістю погодився, вважаючи, що умови вигідні для нього. Скільки грошей отримав багатій?

ІІ група. Задача №2 «Винагорода воїна»

Воїну, що служив, дано винагороду: за першу рану –1 коп., за другу – 2 коп., за третю – 4 коп. і т.д. Виявилося, що він одержав винагороду 655 руб. 35 коп. Скільки ран було у воїна?

ІІІ група. Задача №3 «Скнара»

Мешканець маленького містечка був відомий своєю скнарістю. Коли у нього були справи в повітовому місті, розташованому від цього містечка на відстані 25 км, він звичайно шукав сусідів, які б підвезли його. Одного разу скнара крутився на площі, шукаючи того, хто підвіз би його за спасибі додому. Але цього разу нікого не було і він змушений був шукати платного візника. Скнара обійшов їх усіх, торгуючись з ними і порівнюючи ціни. Один просив 250 руб., другий – 200 руб., третій  – 150. Усі ці ціни здалися йому занадто високими. Нарешті він помітив візника з убогим візком і жалюгідною шкапою. Коли скнара запитав його скільки він візьме за дорогу, той подивився на землю, почухав потилицю і відповів: «за 1-й кілометр заплати мені 1 коп., за другий – 2 коп, за 3-ій – 4, за 4-ий – 8 і так до кінця шляху».

«От дурний, – подумав скнара, ледве стримуючи сміх, – лічить на копійки».  Поспіхом він заліз у візок і гукнув: «Згідний! Поїхали!»

Скільки грошей він повинен заплатити за дорогу?

 

 

Матеріали ІІ кейсу

Я.І. Перельман  «Жива математика» (lib.kherson.ua/publ.zhiva-matematika)

Яків Ісидорович Перельман (1882-1942) —м. Білосток Гродненської губернії Російської імперії (нині Білосток входить в склад Польщі) — російський радянський науковець єврейського походження. Його батько працював рахівником, мати викладала в початкових класах. Популяризатор фізики, математики та астрономії, один із засновників жанру науково- популярної літератури та цікавої науки, автор поняття «науково- фантастичне».

Книга «Жива математика» всесвітньо відомого популяризатора науки виявилася одним з найуспішніших проектів. На її сторінках математика справді є живою. І не лише в тому сенсі, що у ній багато уваги приділяється світу живої природи, а головне в тому, що від читача вимагається лише мінімум формальних математичних знань. Головна ж вимога – полюбляти думати, міркувати, здогадуватися, шукати найкращі рішення. Лише незначна частина задач потребує уміння складати і розв’язувати найпростіші рівняння та використовувати знання про арифметичну та геометричну прогресію.

Цікаві факти. Іменем Перельмана названо кратер діаметром 95 км на зворотному боці Місяця.

Прогресії  у  біології.  У біології прогресії пов’язані з такими темами, як розмноження, поділ клітин, формені елементи крові та інші. За теорією еволюції Дарвіна, всі процеси, які пов’язані з живими організмами, відбуваються прогресивно або регресивно.

На стадії ембріона відбувається процес формування тканин, який називається гістогенез. Одним з видів сполучної тканини, яка формується на стадії формування ембріона, є кров, до складу якої входять життєво необхідні клітини – еритроцити, лейкоцити та тромбоцити, кількість яких впливає на самопочуття людини.

Інтенсивність розмноження бактерій використовують

• у харчовій промисловості (для приготування напоїв, кисломолочних
  продуктів, при квашенні, солінні та ін.);
• у фармацевтичній промисловості (для створення ліків, вакцин);
• у сільському господарстві (для приготування силосу, корму для тварин і ін.);
• у комунальному господарстві та природоохоронних заходах
  (для очищення стічних вод, ліквідації нафтових плям).

Прогресії  у  фізиці.

Прогресії виражають закони деяких фізичних явищ. У фізиці є таке поняття як «рівноприскорений рух». Якщо кажуть, що тіло рухається рівноприскорено, то це означає, що відстань, яку воно проходить за кожну наступну одиницю  часу збільшується на одну і ту ж саму величину, тоді як при рівномірному русі тіло за кожну одиницю часу проходить однакову відстань. Рух також може бути рівносповільненим. За законом геометричної прогресії  можна визначити тиск повітря в середині посудини після декількох  рухів поршню. 

Прогресії у хімії.

При підвищенні температури за арифметичною прогресією швидкість хімічних реакцій зростає за геометричною прогресією.

Цікаві факти.

•                   «Потомство однієї  кульбабки за 10 років може покрити простір в 15 разів більше суші земної кулі». К. А. Тімірязєв.
•                   «Потомство пари мух з'їсть мертвого коня також скоро як лев».
  Карл Лінней
•                   Всього за п'ять поколінь, тобто  за 1 - 1,5 літніх місяців, одна єдина тля може залишити понад 300 млн. нащадків, а за рік її потомство
  здатне покрити поверхню земної кулі шаром товщиною майже 1 метр.
•                   Потомство пари птахів завбільшки з горобця при тривалості життя у чотири роки може покрити всю земну кулю за 35 років.
•                   Дев'яте покоління однієї пари мух наповнило  би куб, сторона якого   дорівнює 140 км, або ж склало б нитку, якою можна обгорнути земну кулю 40 млрд. раз.

І група. Задача №1 Біологія.

Бактерія, потрапивши в організм, до кінця 20-ї хвилини ділиться на дві, кожна з них до кінця 20-ї хвилини знов ділиться на дві і т.д. Скільки бактерій стане в організмі  через добу?

ІІ група. Задача №2 Фізика.

Тіло, яке вільно падає, проходить за першу секунду 4,9 м, а за кожну наступну – на 9,8 м більше, ніж за попередню. Встановити, скільки секунд падатиме тіло з висоти 1960 м.

ІІІ група. Задача №3 Хімія.

Під час хімічної реакції початкова температура сплаву була 2оС, через хвилину вона стала 4оС, ще через хвилину – 8оС, потім – 16оС і т.д. Якою буде температура сплаву через 10 хвилин після початку хімічної реакції?

 

Матеріали ІІІ кейсу

Презентація по темі "Арифметична і геометрична прогресії" (https://naurok.com.ua/prezentaciya-do-pidsumkovogo-uroku-po-temi-arifmetichna-i-geometrichna-progresi-13197.html)

 

Прогресії в архітекторі та будівництві.

У  архітектурі, будівельній справі широко використовуються колони. Виявляється, вони мають форму не циліндра, як здається на перший погляд, а зрізаного конуса.

Будівельники знають, що сила тиску в горизонтальних шарах будівельної колони зростає у напрямку до нижньої основи. Для збереження рівномірності напруги від тиску вздовж усієї довжини колони потрібно збільшувати площі її поперечних перерізів. Встановлено, що площі поперечних перерізів, рівновіддалених один від одного, становлять геометричну прогресію.

Враховуючи таку закономірність, колони будують не тільки красивими, фігура й міцними та надійними.

Оскільки площі поперечних перерізів колони збільшуються у напрямку до її основи, то колона не може мати форму циліндра.

Прогресії в економіці.

Існує думка, що разом із винаходом колеса створення банків стало одним з найважливіших винаходів людства. Перший банк був заснований у Венеції 1171 року. З того часу банківська система розширюється і вдосконалюється.

Комерційні банки виконують дві основні функції:

• Зберігають грошові вклади;
• Надають кредити (позики).

Арифметична та геометрична прогресії допоможуть інженеру- економісту підприємства розв’язати питання ефективності роботи даного підприємства, оптимального обсягу товарів, отримання максимального добутку, визначити, який штат працівників  зможе  утримувати  підприємство, як вигідно підприємству  оплатити податки.

Цікаві факти.

У пісенному конкурсі Євробачення – 2016 перемогу здобула Україна. Наша країна брала участь у цьому конкурсі 13 разів. Перше шоу Євробачення відбулося в 1956 році і тривало 100 хвилин.

Протягом історії Євробачення діяло 6 різних систем визначення переможця, в основу яких було покладено арифметичну прогресію.

І група. Задача №1 «Побудова теплиці».

Потрібно виготовити вертикальні стержні для теплиці з дроту так, щоб найменший мав довжину 5 м, а кожний наступний був на 2 м довший (до 7 стержня). Обчисліть довжину дроту, необхідну для виготовлення стержнів.

ІІ група. Задача №2 «Кредит у банку».

Уявіть, що вам деяка фірма пропонує свої послуги. Щодня ви можете брати у фірми по 100 грн. Але за перший день ви зобов'язані заплатити фірмі 1к, за другий – 2к, за третій – 4к. і т. д. Чи укладете ви з цією фірмою договір не менш ніж на 20 днів за таких умов?

ІІІ група. Задача №3 «Євробачення».

На шоу талантів глядачі брали участь у голосуванні, надсилаючи смс-повідомлення. Після виступу всіх учасників глядачі протягом 30 хв могли віддати свій голос за улюбленого учасника. Протягом першої хвилини від початку голосування свою думку висловили 4800 глядачів. Протягом кожної наступної хвилини голосувало на 160 глядачів менше, ніж попередньої.

Скільки глядачів проголосувало за своїх улюблених учасників протягом 30 хвилин від початку голосування?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бібліографія.

1. Ситуационный  анализ,  или  Анатомия  Кейс-метода  /  под  ред.  д-ра социологических  наук,  профессора  Сурмина  Ю.П.  -  Киев:  Центр инноваций и развития, 2002. - 286 с.

2.  Ковальчук  Г.О.  Активізація  навчання  в  економічній  освіті.  –  К.: КНЕУ,1999.– 128 с.

3.  ЕССН the case for learnin - [Електронний ресурс] -  Режим доступу:

http://www.ecch.com/educators/casemethod/resources/freecasesoverview.

4.  Освітні технології. / Ред. О. М. Пєхота — К.: А.С.К., 2002.- 256 с.

5.  Нісімчук А.С., Падалка О.С., Шпак О.Т. Сучасні педагогічні технології.

Навчальний посібник. — К.: Просвіта, 2000. — 368 с. 

6. Історія математики - [Електронний ресурс] -  Режим доступу: ресурс]http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8
7. Числа Фібоначчі - [Електронний ресурс] -  Режим доступу:

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D7%E8%F1%EB%E0_%D4%E8%E1%EE%ED%E0%F7%F7%E8 

8. Послідовність_Фібоначчі- [Електронний ресурс] -  Режим доступу:

 http://uk.wikipedia.org/wiki/
9. Энциклопедический словарь юного математика/ А.П.Савин.- М.: Педагогика.1985.
10. История математики в школе. ІХ-Х классы/Г.И.Глейзер.- М.: Просвещение.1983.
11. Жива математика/Я.І.Перельман.- К.: Техніка. 1971.