Презентація " Логарифмічні рівняння"

Логарифмічні рівняння.11 клас. Вчитель Рудник Р. О.

предметна компетентність:сформувати поняття логарифмічного рівняння; сформувати вміння розв’язувати найпростіші логарифмічні рівняння за означенням логарифма; ознайомити зі способами розв’язання логарифмічних рівнянь шляхом використанням властивостей логарифма й логарифмічної функції та зведенням до алгебраїчних рівнянь шляхом заміни змінних;спілкування державною мовою: аргументувати, доводити правильність тверджень;інформаційно –цифрова компетентність: діяти за алгоритмом та складати алгоритми . Формування компетентностей:

Повторення матеріалу. 1. Надайте означення логарифма.2. Пригадайте основну логарифмічну тотожність.3. Встановіть відповідність між логарифмом та його значенням: Логарифм Значення логарифма 1)  log133 А. 32)  log28 Б. 12 3) log497 В. - 1 4)  log2164 Г. 2 Д. - 6 Логарифм Значення логарифма А. 3 В. - 1 Г. 2 Д. - 6

Означення . Рівняння називають логарифмічним, якщо його змінні входять лише під знак логарифмів. Рівняння виду log𝑎𝑥 = b, де a > 0, a ≠ 1, називають найпростішим логарифмічним рівнянням. Приклади. log52𝑥+1 = 3; log16( 4𝑥 −8) = - 2; log2𝑥 = - 5; log13(𝑥2 - 2x ) = 0. Логарифмічні рівняння.

Оскільки графіки функцій y = log𝑎𝑥 і y = b перетинаються в одній точці, то найпростіше логарифмічне рівняння log𝑎𝑥 = b має єдиний корінь при будь якому значенні b. Цей корінь можна знайти, використовуючи означення логарифма x = 𝑎𝑏 

Приклад . Розв’яжіть рівняння 1). 𝐥𝐨𝐠𝟕𝒙 = -1; 2). 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙−𝟏  = 1. Розв’язання . 1). За означенням логарифма log7𝑥 = -1 маємо x = 7−1; x = 17 2). Так саме log2 𝑥−1  = 1 будемо мати, що x - 1 = 21, х = 3. Відповідь. 1) 17 ; 2) 3. Розв’язання рівнянь.1. Найпростіші логарифмічні рівняння 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 = b 

2. Рівняння виду 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒇𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈(𝒙). 

Вибір відповідної системи, як правило пов’язаний з тим , яку з нерівностей , f (x) > 0 або g (x) > 0, розв’язати легше. Якщо обидві нерівності є складними, то алгоритм розв’язання буде таким: записуємо систему, розв’язуємо рівняння f (x) = g (x) та перевіряємо корені.

Приклад № 6.30. Розв’яжіть рівняння 1). 𝐥𝐨𝐠𝟑( 𝟔+ 𝟑𝒙) = 3 – x. Розв'язання. log3( 6+ 3𝑥) = 3 – x; 6 + 3𝑥 = 33−𝑥; 6 + 3𝑥 = 273𝑥 ; 32𝑥 + 6·3𝑥 – 27 = 0; нехай 3𝑥 = t, t > 0 тоді 𝑡2 + 6t – 27 = 0 , 𝑡1 = - 9, 𝑡2 = 3. Тож 3𝑥 = - 9 і 3𝑥 = 3. Рівняння 3𝑥 = - 9 – немає розв’язків, а розв’язком рівняння 3𝑥 = 3, x = 1. Відповідь. 1. 3. Рівняння виду 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒇𝒙=𝒈(𝒙). Рівняння виду log𝑎𝑓𝑥=𝑔(𝑥) рівносильне рівнянню f(x) = 𝑎𝑔(𝑥) . Вираз 𝑎𝑔𝑥  > 0 тож умова f (x) > 0 виконується автоматично. 

При розв’язанні складних логарифмічних рівнянь можна дотримуватися наступного алгоритму розв’язання рівнянь: 1). Знаходимо область допустимих значень рівняння.2). За допомогою властивостей логарифмів зводимо рівняння до одного раніш розглянутих типів.3). Розв’язуємо отримане рівняння, перевіряємо належність коренів області допустимих значень.4). Даємо відповідь.4. Рівняння, які зводяться до простих за допомогою властивостей логарифмів.

Приклад №6.23 Розв’яжіть рівняння: 1). 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙+𝟏+ 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟐𝒙−𝟏) = 2. 

№ 6.23 2). 𝐥𝐨𝐠𝟕( 𝟐х−𝟏) = 2 𝐥𝐨𝐠𝟕𝟑 - 𝐥𝐨𝐠𝟕(х−𝟒). 

Приклад. № 6.25(1) Розв’яжіть рівняння : log72(x + 1) - 2𝐥𝐨𝐠𝟕( 𝒙+𝟏) – 3= 0. Розв’язання. 1) Нехай log7( 𝑥+1) = t, тоді маємо рівняння 𝑡2 – 2t – 3 = 0; 𝑡1 = -1; 𝑡2 = 3.2) log7( 𝑥+1) = - 1; х + 1 = 7−1; х = 17 – 1; х1 = - 67 або log7( 𝑥+1) = 3; х +1 = 73 ; х = 343 – 1; х2 = 342. Відповідь. - 67 ; 342. 5. Заміна змінних у логарифмічних рівняннях. Часто логарифмічні рівняння зводяться до алгебраїчних заміною t = log𝑎𝑓(𝑥)  

Розв’яжіть рівняння за допомогою означення логарифма ( усно):1) log4𝑥 = 3; 2) log0,2𝑥 = - 2;3) log9𝑥 = 12 ,4) log2(3 −𝑥) = 0;5) log133𝑥 −12 = -2. x = 43; x = 64,x = (0,2)−2; x=52; x=25,x= 912; x= 3,3–x= 20; x =3-1; x= 2,3x-12=(13)−2;x = 21꞉3; x=7 

Розв’яжіть рівняння № 6.9(1): log32x + 2 𝐥𝐨𝐠𝟑𝒙 – 3 = 0. Розв’язання. log32x + log3𝑥 – 3 = 0. Нехай log3𝑥 = t , тоді маємо рівняння 𝑡2 + 2t – 3 = 0, 𝑡1 = -3 , 𝑡2 = 1. log3𝑥 = -3 ; x = 3−3; x1 = 127 або log3𝑥 = 1; x = 31; x2 = 3. Відповідь. 127; 3. 

5 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝒙 - 𝐥𝐨𝐠𝟐𝒙𝟒 = 9. Розв’язання. 5 log25𝑥 - log2𝑥4 = 9. Використовуючи формулу log𝑎𝑏𝑝 = p·log𝑎𝑏 рівняння приймає наступний вигляд: log2𝑥 - 4log2𝑥 = 9; - 3log2𝑥 =9; log2𝑥 = - 3; x = 2−3; x = 18 . Відповідь. 18 . Розв’яжіть рівняння №6.15(2)

§6 опрацювати матеріал. Виконати завдання №6.8; №6.10 та №6.20. Домашнє завдання