Презентація 'Математична логіка"

Математична логіка

Що таке логіка?Логіка - це наука, яка вивчає закони і форми розумової діяльності людей, принципи і засоби побудови правильних суджень і міркувань про предмети і явища об'єктивного світу, методи формалізації знання як результату пізнавального процесу.23 окт. 2011 г.

Математи́чна ло́гіка — розділ математики, що вивчає мислення за допомогою числень, застосовуючи математичні методи та спеціальний апарат символів. Предметом математичної логіки є математичні теорії в цілому, які вивчаються за допомогою логіко-математичних мов. При цьому в першу чергу цікавляться питаннями несуперечливості математичних теорій, їх розв'язності та повноти. Математична логіка. Один з розділів логіки – математична логіка – є наукою про закони математичного мислення. До основних понять математичної логіки входить поняття висловлення.

При цьому в першу чергу цікавляться питаннями несуперечливості математичних теорій, їх розв'язності та повноти. Предметом математичної логіки є математичні теорії в цілому, які вивчаються за допомогою логіко-математичних мов. 

Історія розвитку математичної логіки. Математична логіка по суті є формальною логікою, що використовує математичні методи. Формальна логіка вивчає акти мислення (поняття, судження, умовиводи, доведення) з точки зору їх форми, логічної структури, абстрагуючись від конкретного змісту. Творцем формальної логіки є Арістотель, а першу завершену систему математичної логіки на базі строгої логіко-математичної мови — алгебру логіки, — запропонував Джордж Буль (1815–1864). Логіко-математичні мови і теорія їх смислу розвинуті в роботах Готлоба Фреге (1848–1925), який ввів поняття предикату і кванторів. Це надало можливість застосувати логіко-математичні мови до питань основ математики. Виклад цілих розділів математики мовою математичної логіки та аксіоматизація арифметики зроблені Джузеппе Пеано (1858–1932). Грандіозна спроба Г. Фреге та Бертрана Расселла (1872–1970) зведення всієї математики до логіки не досягла основної мети, але привела до створення багатого логічного апарату, без якого оформлення математичної логіки як повноцінного розділу математики було б неможливе. На межі 19 століття-20 ст. були відкриті парадокси, зв'язані з основними поняттями теорії множин (найвідомішими є парадокси Кантора та Расселла). Для виходу з кризи Брауер (1881–1966) висунув інтуїціоністську програму, в якій запропонував відмовитися від актуальної нескінченності та логічного закону виключеного третього, вважаючи допустимими в математиці тільки конструктивні доведення. Інший шлях запропонував Давид Гільберт (1862–1943), який в 20-х роках 20 ст. виступив з програмою обґрунтування математики на базі математичної логіки. Програма Гільберта передбачала побудову формально-аксіоматичних моделей (формальних систем) основних розділів математики та подальше доведення їх несуперечливості надійними фінітними засобами. Несуперечливість означає неможливість одночасного виведення деякого твердження та його заперечення. Таким чином, математична теорія, несуперечливість якої хочемо довести, стає предметом вивчення певної математичної науки, яку Давид Гільберт назвав метаматематикою, або теорією доведень. Саме з розробки Д. Гільбертом та його учнями теорії доведень на базі розвинутої в роботах Готлоба Фреге та Бертрана Расселла логічної мови починається становлення математичної логіки як самостійної математичної дисципліни.

Застосування. Сфера застосування математичної логіки дуже широка. З кожним роком зростає глибоке проникнення ідей та методів математичної логіки в інформатику, обчислювальну математику, лінгвістику, філософію. Потужним імпульсом для розвитку та розширення сфери застосування математичної логіки стала поява електронно-обчислювальних машин. Виявилося, що в рамках математичної логіки вже є готовий апарат для проєктування обчислювальної техніки. Методи і поняття математичної логіки є основою, ядром інтелектуальних інформаційних систем. Засоби математичної логіки стали ефективним робочим інструментом для фахівців багатьох галузей науки і техніки.

Елементи математичної логіки. Висловлюванням називають розповідне речення, про яке можна сказати, що воно або істинне, або фальшиве, але не одне й інше разом. Розділ логіки, що вивчає висловлювання та їхні властивості, називають пропозиційною логікою, або логікою висловлювань. Уперше систематичне викладення логіки було зроблене грецьким ученим Аристотелем понад 2300 років тому.

Приклад 1.1. Наведемо приклади речень. Сніг білий. Київ — столиця України.х+1=3. Котра година?Читай уважно!Два перших речення є висловлюваннями, останні три — ні. Третє речення набуває істинне або фальшиве значення залежно від значення змінної х, четверте та п’яте речення — не розповідні. Значення «істина» або «фальш», які надані деякому висловлюванню, називають значенням істинності цього висловлювання. Значення «істина» позначають літерою Т (від англійського truth), а «фальш» — літерою F (від false). Для позначення висловлювань використовують малі латинські букви як з індексами, так і без них. Символи, що використовують для позначення висловлювань, називають атомарними формулами, або атомами.

Приклад 1.2.р: «Сніг білий».g: «Київ — столиця України». Тут символи р, g атомарні формули. Багато речень утворюють об’єднанням одного або декількох висловлювань. Отримане висловлювання називають складним висловлюванням. Його утворюють із наявних висловлювань застосуванням логічних зв’язок. Такі побудови вперше розглянуто 1845 р. у книзі англійського математика Д. Буля «The Laws of Truth». Розглянемо питання побудови нових висловлювань з тих, що ми вже маємо. Для цього в логіці висловлювань використовують п’ять логічних зв’язок: заперечення (читають «не» та позначають «¬»), кон’юнкцію (читають «і» та позначають «»), диз’юнкцію (читають «або» та позначають «»), імплікацію (читають «якщо…, то» та позначають «→») та еквівалентність (читають «тоді й лише тоді» та позначають «~»).

Висновки. Математична або символічна логіка  – другий етап розвитку вивідного знання. Вона вивчає ті ж закони мислення, що і традиційна логіка, але йде далі в абстрагуванні. В математичній логіці використовують математичні методи і спеціальний апарат символів і досліджують мислення за допомогою формалізованих мов. В такий спосіб стає можливим відкривати і вивчати нові закони мислення, з якими маємо справу, розв’язуючи складні логічні задачі в математиці, кібернетиці, проектуванні і роботі комп’ютерної техніки. Сучасна символічна (математична) логіка являє собою подальший розвиток традиційної формальної логіки. Саме успіхи математичної логіки перетворили стару формальну логіку на струнку науку з точними поняттями і послідовними доведеннями. Для математичної логіки характерним є вивчення законів і форм мислення за допомогою методів математики і використання «мови символів» (знаків), що дає можливість зробити логіку точною наукою, а думку, виражену в символах математичної логіки, – чіткою і однозначною. Мова символів, певною мірою застосовувана ще Арістотелем, на сучасному етапі набула значного поширення, в зв’язку з чим термін «символічна логіка» використовується тепер як синонім математичної логіки.

Використані джерела:https://referatss.com.ua/work/matematichna-logika-i-filosofija/https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9 C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0#:~:text=%D0%9 F%D0%BE%D1%82%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%BC%20%D1%96%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8 C%D1%81%D0%BE%D0%BC%20%D0%B4%D0%BB%D1%8 F%20%D1%80%D0%BE%D0%B7%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%BA%D1%83%20%D1%82%D0%B0,%D0%B0%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%20%D0%B4%D0%BB%D1%8 F%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%94%D0%BA%D1%82%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8 F%20%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%8 E%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8 C%D0%BD%D0%BE%D1%97%20%D1%82%D0%B5%D1%85%D0%BD%D1%96%D0%BA%D0%B8.https://maup.com.ua/assets/files/lib/book/mat_log.pdfhttp://csc.knu.ua/media/filer_public/3b/80/3b805f5a-fb43-4249-b587 f13852e8ba37/osnovy_mat_logyky_posibn_020620.pdf