Презентація "Множини дійсних і комплексних чисел. Алгебраїчна форма запису комплексного числа."

Множини дійсних і комплексних чисел. Алгебраїчна форма запису комплексних чисел. Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі

Матеріали до уроку математики розроблено викладачем Бердичівського фахового коледжу промисловості, економіки та права. Чайло Валентиною Михайлівною

Означення комплексного числа Означення 1. Число а+ві, де а, в – будь-які дійсні числа, і – символ, називається комплексним числом. Число а– дійсна частина, ві– уявна частина комплексного числа, число в – коефіцієнт при уявній частині. Означення 2. Число, квадрат якого дорівнює -1 , позначають буквою і називають уявною одиницею ( перша буква латинського слова imaginarius – уявний). Тобто, для символу і виконується рівність : і𝟐=-1. 

Означення 3. Запис комплексного числа у вигляді а+ві називають алгебраїчною формою запису комплексного числа. Примітка! Слово "комплексний" означає складений. Часто комплексне число позначають буквою z і записують z=a+ві . Комплексні числа – це розширення числової множини дійсних чисел. Множину комплексних чисел позначають буквою С. Множина дійсних чисел є частиною (підмножиною) множини комплексних чисел. R⊂C 

Які комплексні числа називаються рівними, спряженими, протилежними?Означення 4. Два комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах. Поняття "більше" і "менше" для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, наприклад, сказати, яке з двох комплексних чисел більше. Означення 5. Числа а+ві та а-ві , дійсні частини яких рівні, а коефіцієнти при уявих частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими комплексними числами. 

Означення 6. Числа а+ві та -а-ві називаються протилежними. Приклад.1) Спряженими є комплексні числа 4+3і та 4-3і .2) Якщо дано число 6і, то спряженим до нього є число -6і .3) До числа 12 спряженим буде число 12, тому що в алгебраїчній формі 12=12+0і, йому спряжене число 12-0і=12. 4) Протилежними є числа 2+5і та -2-5і, 8-4і та -8+4і.

Дії над комплексними числами в алгебраїчній форміНад комплексними числами в алгебраїчній формі виконуються дії додавання, віднімання, множення, ділення.

Означення 7. Сумою двох комплексних чисел називається комплексне число , дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при уявних частинах доданків. Приклади додавання комплексних чисел:1) (7+3і) + (-5+6і) = (7-5)+(3+6)і = 2+9і,2) (1-і) + (-1+і) = (1-1)+(-1+1)і = 0, отже сума протилежних комплексних чисел дорівнює нулю.3) (-9+5і) + (-3-і) = (-9-3)+(5-1)і = -12+4і.

Означення 8. Різницею двох комплексних чисел називається комплексне число , дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно різниці дійсних частин і коефіцієнтів при уявних частинах зменшуваного та відꞌємника . Приклади (віднімання комплексних чисел):1) (5+2і)-(8+6і)=(5-8)+(2-6)і=-3-4і,2) (-9+15і)-(-4-23і)=(-9+4)+(15+23)і=-5+38і,3) (7+3і)-(7-3і)=(7-7)+(3+3)і=6і.

Знайдемо добуток двох комплексних чисел в алгебраїчній формі. Для цього виконаємо множення за правилом множення двочлена на двочлен.(а+ві)(с+dі)=ас+аdі+всі+вdі2= ас+аdі+всі-вd=(ас-вd )+(аd+вс)іОзначення 9. Добутком двох комплексних чисел а+ві та с+dі називається число (ас-вd)+(аd+вс)і. Зауваження: На практиці множення комплексних чисел зручно виконувати за правилом множення многочлена на многочлен. Наприклад, (3-6і)(2+5і)=6+15і-12і-30і2=6+3і+30=36+3і. 

Означення 10. Часткою двох комплексних чисел в алгебраїчній формі є число, яке одержують, якщо домножити чисельник і знаменник дробу на число, спряжене до знаменника. Наприклад, 7−4і3+2і = (7−4і)(3−2і)(3+2і)(3−2і)=21−14і−12і−89−6і+6і+4= 13−26і13=1−2і 

Піднесення уявної одиниці до степеня з натуральним показникомі1=і,і2=-1,і3=і2 ∙і=−1∙і=−і,і4=і3 ∙і=−і∙і=−і2=−−1=1, і5=і4 ∙і=1∙і=і,і6=і5 ∙і=і∙і=−1,і7=і6 ∙і=−1∙і=−і,і8=і7 ∙і=−і∙і=1,і т.д. Висновок: Щоб піднести символ і до степеня, потрібно показник степеня поділити на 4, потім символ і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від цього ділення. Наприклад, і27=і24+3=і3=-і. 

Запитання і завдання для самоперевірки 1) Яке число називається комплексним?2) Доведіть, що дійсні числа є підмножиною комплексних.3) Яке комплексне число називається записаним в алгебраїчній формі?4) Що таке уявна одиниця?5) Які дії виконують над комплексними числами в алгебраїчній формі?6) Які комплексні числа називаються спряженими? Протилежними? Рівними?7) Знайдіть суму, різницю, добуток і частку комплексних чиселz =-5+6i , z2=9-i.