Презентація "Показникова форма запису комплексного числа. Дії над комплексними числами в показниковій формі"

Показникова форма запису комплексного числа. Дії над комплексними числами в показниковій формі

Показникову форму запису комплексного числа одержують із тригонометричної форми,застосувавши формулу Ейлера:𝐜𝐨𝐬𝝋+і𝐬𝐢𝐧𝝋=еі𝝋. Застосуємо цю формулу до тригонометричної форми:z=r(cos𝜑+ іsin𝜑), тодіz=rеі𝝋. Означення 1. Запис комплексного числа у вигляді z=rеі𝝋 називається показниковою формою запису комплексного числа. 

Дії над комплексними числами в показниковій форміНехай задано два комплексних числа𝑧1=𝑟1𝑒𝑖𝜑1, z2=𝑟2𝑒𝑖𝜑2. Множення:𝒛𝟏𝒛𝟐=𝒓𝟏𝒓𝟐𝒆𝒊(𝝋𝟏+𝝋𝟐) Ділення:𝒛𝟏𝒛𝟐=𝒓𝟏𝒓𝟐𝒆𝒊(𝝋𝟏−𝝋𝟐)Нехай задано комплексне число z=rеі𝜑. Піднесення до степеня:𝒛𝒏=𝒓𝒏𝒆𝒊𝝋𝒏Обчислення кореня n-го степеня:𝒏𝒛=𝒏𝒓𝒆𝒊(𝝋+𝟐𝝅𝒌)/𝒏,k=0,1,2,3,…,n-1 

Дано 𝑧1=2𝑒𝑖𝜋/2, 𝑧2=2𝑒𝑖3𝜋/4. Знайти: 𝑧1∙𝑧2, 𝑧1𝑧2, 𝑧28, 4𝑧1.1) 𝑧1∙𝑧2=22 𝑒𝑖(𝜋2+3𝜋4)= 22 𝑒𝑖5𝜋4,2) 𝑧1𝑧2 = 22𝑒𝑖(𝜋2−3𝜋4)=2  𝑒−𝑖𝜋/4,3) 𝑧28=(2)8𝑒𝑖(3𝜋4)∙8=16𝑒𝑖∙6𝜋,4) 4𝑧1=42 𝑒𝑖(𝜋2+2𝜋𝑘)/𝑛, k=0,1,2,3.k=0, 4𝑧1=42 𝑒𝑖(𝜋2+2𝜋0)/4=42𝑒𝑖𝜋/8,k=1, 4𝑧1=42 𝑒𝑖(𝜋2+2𝜋)/4=42 𝑒𝑖5𝜋/8,k=2, 4𝑧1=42 𝑒𝑖(𝜋2+2𝜋∙2)/4=42 𝑒9𝜋/8,k=3, 4𝑧1=42 𝑒𝑖(𝜋2+2𝜋∙3)/4=42 𝑒𝑖13𝜋/8.