Презентація "Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Тригонометрична форма запису комплексного числа. Дії над комплексними числами в тригонометричній формі "

Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Тригонометрична форма запису комплексного числа. Дії над комплексними числами в тригонометричній формі.

Геометрична інтерпретація комплексного числа

Комплексне число z=a+bi геометрично зображають точкою M(a;b) координатної площини. Комплексне число зручно зобразити у вигляді вектора, початок якого знаходиться в початку координат, а кінець в точці М. OM(a;b).

Модуль і аргумент комплексного числа. Означення 1. Модулем комплексного числа називається довжина вектора, який зображає це число. Позначається буквою r. Обчислюється за формулою r=𝒂𝟐+𝒃𝟐. Означення 2. Аргументом комплексного числа називається кут, який утворює вектор з додатнім напрямком осі ОХ. Позначають буквою 𝜑. Аргумент знаходять за значенням cos𝜑 та sin𝜑.cos𝝋= 𝒂𝒓         sin𝝋= 𝒃𝒓  

Тригонометрична форма запису комплексного числаІз останніх формул виразимо a та b.a=rcos𝜑, b=rsin𝜑. Підставляємо ці вирази в алгебраїчну форму z=a+bi. z= rcos𝜑 + irsin𝜑 = r(cos𝜑 + isin𝜑)  Означення 3. Запис комплексного числа у вигляді z= r(cos𝝋 + isin𝝋) називається тригонометричною формою комплексного числа. 

Дії над комплексними числами в тригонометричній форміНехай задано два комплексні числа:z1=r1(cosφ1+isinφ1),z2=r2(cosφ2+isinφ2). Множення виконується за правиломz1⋅z2=r1⋅r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2))Ділення виконується за правиломz1z2=r1r2(cos(φ1−φ2)+isin(φ1−φ2)). 

Нехай задано комплексне число z= r(cos𝝋 + isin𝝋). Піднесення до степеня з натуральним показником виконується за формулою Муавра 𝒛𝒏 = 𝒓𝒏(cos𝝋𝒏+isin𝝋𝒏)Корінь п-го степеня знаходять за формулою𝒏𝒛=𝒏𝒓(𝒄𝒐𝒔𝝋+𝟐𝝅𝒌𝒏 + іsin𝝋+𝟐𝝅𝒌𝒏)k=0,1,2,3,…,n-1 

Записати комплексне число z=2-2i в тригонометричній формі.1) Знаходимо модуль числа:r=𝑎2+𝑏2, r=𝟐𝟐+(−𝟐)𝟐= =8=22.2) Знаходимо аргумент числа:cos𝜑= 𝑎𝑟     ,    sin𝜑= 𝑏𝑟 cos𝜑=222=12=22, sin𝜑=−222=−12=−22,   отже 𝜑𝜖ІУ чверті.𝜑=2𝜋−𝜑1=2𝜋−𝜋4= 7𝜋4.3) Записуємо число в тригонометричній формі:z= r(cos𝜑 + isin𝜑)z= 22cos7𝜋4+іsin7𝜋4. Відповідь. z= 22cos7𝜋4+іsin7𝜋4. 

Щоб знайти аргумент числа, потрібно:1) визначити, в якій координатній чверті знаходиться цей кут, врахувавши знак косинуса і синуса,2) обчислити величину кута в радіанах:- якщо 𝜑𝜖І чв., то 𝜑=𝜑1,- якщо 𝜑𝜖ІІ чв., то 𝜑=𝜋−𝜑1,- якщо 𝜑𝜖ІІІ чв., то 𝜑=𝜋+𝜑1,- якщо 𝜑𝜖ІУ чв., то 𝜑=2𝜋−𝜑1.