Презентація на тему "Функціональні рівняння та задачі на знаходження функцій"

Функціональні рівняння та задачі на знаходження функцій. Роботу виконав: Гордієнко Ростислав Олександрович, учень 10 класу Сухомаячківського закладу загальної середньої освіти Ӏ-ӀӀӀ ступенів. Науковий керівник: Трохименко Любов Іллівна, учитель математики, спеціаліст вищої кваліфікаційної категоріїСухомаячківської ЗОШ Ӏ-ӀӀӀ ступенів

Має наукове значення; функціональний напрям у шкільній програмі є переважним;функціональні рівняння включені до програми факультативних курсів класів і шкіл з поглибленим вивченням математики; завдання зустрічаються на олімпіадах усіх етапів, різних конкурсах, фестивалях, турнірах тощо; простежується ідея включення функціональних рівнянь до завдань ЗНО. Актуальність проблеми

Об‘єкт дослідження: функціональні рівняння. Предмет дослідження: методи розв'язання функціональних рівнянь. Мета дослідження:теоретично обгрунтувати основні прийоми розв'язання функціональних рівнянь; вивчити методи розв'язання функціональних рівнянь; розробити авторські завдання, рекомендації щодо вивчення теми «Функціональні рівняння» в середніх школах. Гіпотеза: прогнозується вид шуканої функції.

здійснити теоретичний аналіз найпростіших функціональних рівнянь, основних прийомів розв'язування функціональних рівнянь;визначити методи розв'язання функціональних рівнянь;експериментально перевірити методи розв'язання функціональних рівнянь на завданнях дослідницького характеру. Розробити авторські завданнярозробити рекомендації щодо вивчення теми «Функціональні рівняння» у загальноосвітніх навчальних закладах Завдання роботи:

Наукова новизна та особистий внесок дослідника. Завдання надають додаткову можливість розвитку математичної компетентності, закладаючи фундамент наукового світогляду. Авторські завдання демонструють розв'язування задач на знаходження функцій. Практичне значення. Узагальнені в роботі методи розв'язання функціональних рівнянь придадуться для оволодіння та розширення знань про функціональні рівняння учнівською та студентською аудиторією.

Теоретичний аналіз наукової літератури, інших джерел дозволив визначити зміст понять «співвідношення», «функціональне рівняння», «розв'язок функціонального рівняння», а також поняття математичного аналізу: границя послідовності та функції, неперервність, збіжність послідовностей (𝑥𝑛). У ході дослідження висвітлено відомості про найпростіші функціональні рівняння та основні прийоми їх розв'язування. На виконання першого завдання

Питання дослідження функціональних рівнянь залишається досить актуальним і сьогодні. Вивченню цієї проблеми присвячені роботи таких математиків як С. Л. Блюмин. О. М. Вороний. Г. В. Писанко. В. А. НедокісЄ. І. Пенцак. А. С. Юрчишинта інші

Леонард Ейлер Карл Фрідріх Гаусс. Видатні математики минулого – серед них

Нільс Хенрік Абель Микола Лобачевський

Давид Гільберт Огюстен Луї Коші

Жан Лерон Д'Аламбер Гаспар Монжчасто зверталися до функціональних рівнянь і використовували для розв'язування цілого ряду задач.

Встановлено, що спосіб невизначених коефіцієнтів дає можливість будувати часткові розв'язки тих функціональних рівнянь, за зовнішнім виглядом яких можна передбачити загальний вигляд шуканих функцій. Спосіб підстановок дає змогу розв'язування функціональних рівнянь звести до розв'язання рівнянь відомих типів, зокрема алгебрагічних рівнянь та їх систем.

Знайти всі функції f : R → R ( R — множина всіх дійсних чисел), якщо рівність 2 f (x) + f (1 – x) = 𝒙𝟐 (1)виконується для всіх x ∈ R. Розв'язання. Візьмемо довільне дійсне число а і покладемо х = а в рівності (1): 2 f (a) + f (1 – a) = 𝑎2   (2)Для визначення з добутої рівності двох невідомих, якими є f (a) і f (1 – a) , потрібна ще одна рівність з цими невідомими. Її дістанемо, якщо в (1) покладемо x = 1 - a : 2 f (1 – a) + f (a) = (1 −𝑎)2 (3) Тепер з рівностей (2) і (3) знаходимо f (a) = 13  (𝑎2 + 2a – 1). Отже, якщо f (x) — розв'язок рівняння (1), то f (x) = 13  (𝑥2 + 2x – 1). Зауважимо, що розв'язування функціонального рівняння способом підстановок повинно закінчуватися обов'язковою перевіркою:2 f (x) + f (1 – x) = 2 • 13  (𝑥2 + 2x – 1) + 13  ( (1 −𝑥)2 + 2 (1 – x) – 1) = 13  (2𝑥2 + 4x – 2 + 1 – 2 x + 𝑥2 + 2 – 2 x – 1) = 𝑥2 . Рівність, яку дістали, дає підстави стверджувати, що рівняння розв'язане. Відповідь. f (x) = 13  (𝑥2 + 2x – 1). 

Співвідношення – це рівність. Функціональне рівняння – це співвідношення між виразами, складеними зі значень деякої функції, за яким цю функцію треба знайти. Розв‘язок функціонального рівняння – це функція, яка на заданій множині перетворює рівняння в тотожність. Основні поняття

Застосовано методи:метод граничного переходуметод Коші аналітичний метод. Встановлено, що лінійна функція f (x) = cx при всіх x, y ϵ R задовольняє співвідношення f (x + y) = f (x) + f (y). Встановлено, що розв'язуючи функціональне рівняння методом Коші, пошук неперервної функції f, яка є розв'язком функціонального рівняння, ведеться поетапно. На виконання другого завдання

Ця функція визначається на множині:- натуральних чисел– цілих чисел- раціональних чисел - ірраціональних чисел. Результатом пошуків є формула. Завершується розв'язання обов'язковою перевіркою.

Метод граничного переходу𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ f (𝑥𝑛)=𝑓 (𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑥𝑛),де f – неперервна функція, (𝑥𝑛) −  збіжна послідовність. Метод Коші Знаходження неперервних розв'язків функціональних рівнянь з вільними змінними. Аналітичнй метод. Використання умови неперервності функцій. Загальні ознаки

Метод граничного переходу. Підстановка повторюється n разів. Система n лінійних рівнянь. Рівняння виду f (x) = 𝑎𝑛 𝑓 𝑏𝑛+ 𝑐𝑛. Метод Коші Пошук ведеться поетапно за допомогою вдало дібраних підстановок. Аналітичний метод. Розв'язок відшукується поступово для натуральних, цілих, раціональних і дійсних значень аргументу. Основні характеристики

Зроблено висновок: спектр функціональних рівнянь з вільними змінними ширший від спектра рівнянь без вільних змінних. Визначено: одним з основних способів розв‘язання є спосіб підстановок. У завданнях дослідницького характеру функції, що входять у дане рівняння, утворюють групу, для них виконують операцію композиції. За результатами експерименту нами зроблені:завдання, що поглиблюють шкільні знання з математики;На виконання третього завдання

авторські завдання на знаходження функцій. Задача Знайти всі функції f : R→R (R - множина всіх дійсних чисел), якщо рівність 2 f (x) + f(1-x) = 𝒙𝟑 (1) виконується для всіх x ∈ R. Розв'язання. Візьмемо довільне дійсне число а і покладемо х = а в рівності (1):2 f (a) + f(1-a) = 𝑎3 (2)Для визначення з добутої рівності двох невідомих, якими є f (a) і f(1-a) , потрібна ще одна рівність з цими невідомими. Її дістанемо, якщо в (1) покладемо : x = 1 – a: 2f (1 – a) + f (a) = (1 −𝑎)3 (3)Тепер з рівностей (2) і (3) знаходимо f (a) = 𝑎3- 𝑎2+ a - 13. Отже, якщо f (x) — розв'язок рівняння (1), то f (x) = 𝑥3- 𝑥2+ x - 13 . Зауважимо, що розв'язування функціонального рівняння способом підстановок повинно закінчуватися обов'язковою перевіркою:2f (x) + f (1-x) = 2 · (𝑥3- 𝑥2+ x - 13) + (1−𝑥)3 - (1−𝑥)2 + (1-x) - 13 = 𝑥3. Рівність, яку дістали, дає підстави стверджувати, що рівняння розв'язане. Відповідь. f (x) = 𝒙𝟑- 𝒙𝟐+ x - 𝟏𝟑 . 

опановано чотири методи розв'язання функціональних рівнянь;відібрано та розв'язано задачі на знаходження функцій;обгрунтовані основні теоретичні засади функціональних рівнянь;підібрані різні приклади, що демонструють розв'язування функціональних рівнянь різними способами;представлена методика їх вивчення у школах з поглибленим вивченням математики;представлені авторські завдання. Результати досліджень

Розроблено рекомендації щодо вивчення теми «Функціональні рівняння»На виконання четвертого завдання

пригадати означення парної (непарної) функції;пригадати співвідношення для періодичної функції;дати означення функціонального рівняння;з'ясувати, що означає розв'язати функціональне рівняння;розглянути найпростіші функціональні рівняння та методи їх розв'язання;пригадати методи розв'язування систем лінійних рівнянь;розпочати розв'язувати ті функціональні рівняння, які мають дві невідомі величини;повторити метод від супротивного;виділити три кроки при розв‘язуванні функціональних рівнянь;пропонувати дітям завдання як стандартні, так і дослідницького характеру, починаючи з найпростіших.

Вивчення теми вимагає глибокого розуміння математики як науки. Функціональні рівняння представлені у завданнях математичних олімпіад, зокрема Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт учнів-членів МАН України. Написання роботи вимагало позашкільних знань функції. Набули навичок розв'язування функціональних рівнянь. При розв'язуванні рівнянь Коші розв'язки знаходяться за допомогою використання понять математичного аналізу. Доцільно ввести функціональне рівняння в шкільний курс у вивчення математики. Висновки

ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!