Презентація на тему: " Графічний спосіб розв’язування задач з параметрами"

Параметр (від грецького  - той, що відміряє) - величина, значення якої слугують для встановлення відмінності між елементами деякої множини «змінних величин». Якщо в рівняння (нерівність, систему рівнянь, систему нерівностей) крім невідомих величин, входять числа, що позначені буквами, які хоч і не вказані, але вважаються відомими та заданими на деякій числовій множині, то вони називаються параметрами.

Графічне представлення рівняння або системи рівнянь з параметром володіє декількома незаперечними перевагами: Графічний спосіб розв’язування рівнянь з параметрами побудувавши графік (графіки), можна визначити, як впливає на них і, відповідно, на розв’язок рівняння зміна параметра. графік дає можливість сформулювати аналітично необхідні і достатні умови для вирішення поставленого завдання .

Графічний спосіб розв’язування рівнянь з параметрами 1. Знаходимо область допустимих значень невідомого і параметрів, що входять до рівняння. 2. Виражаємо параметр, як функцію від невідомого: a=f(x). 3. У системі координат x0y, будуємо графік функції y=f(x) для таких значень х, які входять в область визначення рівняння. 4. Знаходимо точки перетину прямої y=a з графіком y=f(x). Схема розв’язання:

Задача 1 . Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння має безліч коренів. . Розв’язання. Побудуємо на координатній площині графіки функцій та Нерухомий «прямий кут» з вершиною в точці (-1; -3), промені якого напрямлені вверх. І «прямий кут», промені якого напрямлені вверх, що рухається вздовж осі абсцис , в залежності від параметра а. у -3 -1 х 2 -4

Задача 1 . Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння має безліч коренів. . у -3 -1 х Якщо а < - 4 або а > 2, то рівняння має один корінь. -4 2 Якщо - 4 < а < 2, то графіки функцій не перетинаються. Рівняння коренів не має. Якщо а = - 4 та а = 2, то рівняння має безліч коренів. Відповідь: а = - 4 , а = 2

Задача 2 . Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння має єдиний корінь. Розв’язання. Побудуємо на координатній площині графіки функцій та Нерухомий «прямий кут» з вершиною в точці (-3;-1), промені якого напрямлені вверх. І стиснений у два рази «кут», промені якого напрямлені вверх, вершина якого рухається вздовж осі абсцис , в залежності від параметра а. 2 -2 -4 х у

Задача 2 . Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння має єдиний корінь. Очевидно, що дане рівняння буде мати єдиний корінь, якщо вершина рухомого «кута» знаходиться у точці А, або точці В. Маємо, тоді А(-4; 0), В(-2; 0) належать графіку функції Відповідь: а = -4 , а = -8 2 -2 -4 х у А В

Задача 3 . Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких рівняння має більше ніж два корені. Розв’язання. Побудуємо на координатній площині графіки функцій та . Абсциси точок перетину графіків – корені заданого рівняння. Розкриваємо модулі на кожному з відрізків першого графіка. Будуємо графіки. X-1 X-3 - - - 1 3 - + + + x

Задача 3 . Знайдіть усі значення параметра а, при кожному з яких рівняння має більше ніж два корені. x y 1 3 0 2 4 З побудови бачимо: 1) Якщо a < 2, розв’язків немає; 2) Якщо a = 2, має безліч розв’язків; 3) Якщо a > 2, має 2 розв’язки Відповідь: а = 2

Задача 4 . Скільки розв’язків має рівняння |x2-3|х|- 4| = a залежно від параметра а? Побудуємо графіки функцій у = |x2-3|х|- 4| та у = a у системі координат (х,у) З побудови бачимо: 1) якщо a < 0, розв’язків немає 2) якщо a = 0, має 2 розв’язки 3) якщо 0< a<4, має 4 розв’язки 4) якщо a=4, має 5 розв’язків у = a , a<0 у = a , a=0 у = a ,0< a<4 у = a , a=4 5) якщо 4< a<6,25, має 6 розв’язків 6) якщо a=6,25, має 4 розв’язки 7) якщо a>6,25, має 2 розв’язки у = a , 4< a<6,25 у = a , a=6,25 у = a , a>6,25 у = |x2-3|х|- 4|

Задача 5 . При яких значеннях а рівняння має три корені? (а+4х-х2-1)(а+1-|х-2|)=0 Розв’язання: 1. (а+4х-х2-1)(а+1-|х- 2|)=0 2. Графік цієї сукупності – об’єднання «галочки» та параболи. 3. а=а0 – пряма паралельна осі Ох. 4. При а = – 1 дане рівняння має три корені. Відповідь: при а = – 1. x 1 2 3 a 0 1 -1 -3 а = -1 a=|x-2|-1 a=x2-4х+1

Задача 6 . При яких значеннях а рівняння має два корені? Розв’язання: 1. 2. Графік рівняння a= х2-х – парабола, вітки якої напрямлені вгору. Вершина параболи – точка 3. Будуємо графіки у системі координат (хОа) і робимо висновки. 4. а=а0 – пряма, паралельна осі Ох. Відповідь. При рівняння має два корені . 1 x a=x2-х а=a0

Людина хотіла б володіти таким методом, який би давав можливість розв’язати будь-яку задачу. Над пошуком такого універсального методу міркував Рене Декарт, чіткіше ідею про досконалий метод сформулював Г. Лейбніц. “ Однак пошуки універсального, досконалого методу дали не більший ефект, ніж пошуки філософського каменя, який перетворює неблагородні метали в золото”, - писав Д. Пойя. Метою моєї роботи було дещо скромніше бажання продемонструвати один з найцікавіших і найдоступніших способів розв’язування задач з параметрами та переконати інших, що параметрами можна оперувати як числами, застосовуючи їх фіксованість, а з іншого боку – досліджувати їх “ступінь свободи”, тобто можливість змінюватись в межах заданих формул. Висновки

Дякую за увагу!