Презентація на тему "Застосування інтеграла"

Про матеріал
Презентація з теми "Застосування інтеграла" на уроках алгебри та геометрії у 11 класі. Призначена для практичного використання в умовах дистанційного навчання. Матеріали допоможуть вчителю раціонально використати свій час при перевірці домашнього завдання і проведенні класної роботи.
Перегляд файлу

image Інтеграл

План

1. Вступ

-       Визначення нтеграла

-       Історичний контекст

-       Значення нтеграла в математиц

2. Інтеграл в алгебр

-       Поняття перв сної функц ї

-       Невизначений нтеграл

-       Властивост невизначеного нтеграла

-       Методи обчислення невизначеного нтеграла

3. Інтеграл в геометр ї

-       Визначений нтеграл як м ра площ

-       Властивост визначеного нтеграла

-       Геометричний зм ст теореми про середнє значення нтеграла

-       Застосування визначеного нтеграла в геометр ї

4. Застосування нтеграл в

-       Практичн приклади обчислення нтеграл в

5. Висновки

-       Значення вивчення нтеграл в для розвитку математичних навичок

image
Вступ

imageВизначення інтеграла

Інтеграл — узагальнення поняття суми неск нченного числа неск нченно малих доданк в.

Історичний контекст

imageimage

image

Інтеграц я простежується ще в давньому Єгипт , приблизно в 1800 до н. е.. Першим в домим способом для розрахунку нтеграл в, є метод вичерпування Евдокса (приблизно 370 до н. е.), який намагався обчислити площ та об'єми, розриваючи їх на неск нченну безл ч частин, для яких площа або об'єм уже в домий. Цей метод був п дхоплений розвинутий Арх медом,  використовувався для розрахунку площ парабол  наближеного розрахунку площ круга. Под бн способи були розроблен незалежно, в Китаї в 3-му стол тт н. е Лю Хуейєм, який використовував їх для обчислення площ круга. Цей метод був згодом використаний Цзу Чунчжи для розрахунку об'єму сфери.

Застосування інтеграла в математиці

image
Одне з найважливших понять математичного аналзу, центральне поняття нтегрального числення, застосовується для розв'язання задач:

imageimageimage                                       image                   2        3                    4

обчислення пройденогоза нер вном рногоруху шляху неоднор дногомасит ла в дновлення(невизначенийза її пох дною функц ї площ п д

кривою

нтеграл)

image
Інтеграл в алгебрі

Поняття первісної функції

imageПерв сна функц я – особлива функц я, пох дна якої дор внює дан й функц ї. Іншими словами, перв сна функц я є функц єю, яка в дновлюється при її диференц юванн . image

Невизначений інтеграл

imageНеви́значений нтегра́л для функц ї f — це сукупн сть ус х перв сних ц єї функц ї. Завдання диференц ального числення — обчислення пох дної в д заданої функц ї y = f(x).

image

Властивості невизначеного

інтеграла

1.            imageimage(∫f(x)dx)'=f(x)

 

2.            ∫F'(x)dx=F(x)+C

3.            ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx, якщо k≠0.

4.            ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

Методи обчислення невизначеного інтеграла

Для обчислення невизначених нтеграл в використовуються

imageimage Таблиця основних формул нтегрування; image Метод п дстановки (або формула зам ни зм нної); image Метод нтегрування частинами.

За допомогою згаданих метод в можна обчислювати невизначен нтеграли у вигляд ск нченних комб нац й елементарних функц й. Проте, не вс нтеграли можна виразити через елементарн функц ї. В домо небагато клас в функц й, нтегрування яких, у п дсумку дає елементарн функц ї. До цих клас в в дносяться рац ональн , тригонометричн , показников функц ї та функц ї з радикалами.

image
Інтеграл в геометрії

Визначений інтеграл як міра площі

imageВизначений нтеграл використовується в математиц для обчислення площ ф гур, обмежених граф ками функц й. Це широко застосовується в геометр ї, зокрема для знаходження площ ф гур, обмежених граф ками функц й, та об’єм в т л.

Основні image

imageвластивості  Сталий множник можна визначеного  виносити за знак інтеграла  визначеного нтеграла, тобто

imageВизначений нтеграл в д алгебраїчної image суми функц й дор внює алгебраїчн й сум їх нтеграл в, тобто

imageimageЯк б не були числа має м сце р вн сть

imageimageimageimageЯкщо всюди на в др зку [a,b], де a<b функц я f(x)>0, то Якщо всюди на в др зку [a,b], f(x)<g(x), (a>b), то

imageДля функц ї f(x), визначеної на

image в др зку [a,b], (a,b) має м сце нер вн сть

imageimageЯкщо M  m – в дпов дно найменше  найб льше значення функц ї f(x) на в др зку [a,b], то

imageimageТеорема 3 (теорема про середнє): Якщо функц я f(x) неперервна на в др зку [a,b] , то на цьому в др зку снує точка така C, що

Геометричний зміст теореми про середнє значення інтеграла

imageimageГеометричний зм ст теореми про середнє значення визначеного нтеграла полягає в тому, що снує прямокутник з сторонами (b - a), який р вновеликий кривол н йн й трапец ї (aАВв) за умови, що функц я (f(x)) неперервна на пром жку ([a; b]). Це можна уявити так: якщо ми побудуємо прямокутник з висотою (f(c)), де (c) - це деяке число з пром жку ([a; b]), то площа цього прямокутника буде р вна площ п д граф ком функц ї (f(x)) на цьому пром жку.

Таким чином, теорема про середнє значення визначеного нтеграла вказує на снування такої точки (c), де f(с) дор внює середньому значенню функц ї (f(x)) на пром жку ([a; b]). Ця теорема має важлив застосування в математичному анал з та ф зиц

Застосування визначеного інтеграла в геометрії

imageЗастосування визначеного нтеграла в геометр ї має дек лька ц кавих аспект в.


Давайте розглянемо деяк з них:

imageimageОбчислення площ Обчислення об’єму плоских ф гур т л обертання

Використовуючи поняття визначеного нтеграла, можна обчислювати площ       Визначений нтеграл також плоских ф гур.Наприклад, площа     допомагає обчислювати об’єми

кривол н йної трапец ї, обмеженої    т л обертання навколо осей

imageimageграф ком нев д’ємної, неперервної        координат. Наприклад, якщо

функц ї, в др зком ос Ох та в др зками     ми маємо криву, яка

прямих, обчислюється за в дпов дною обертається навколо ос Ох, ми формулою. Це дозволяє нам можемо визначити об’єм цього

imageОбчислення довжини дуги плоскої кривої

Визначений нтеграл також дозволяє визначити довжину дуги плоскої кривої. Це

корисно, наприклад, при вивченн траєктор й руху об’єкт в.


визначити площу р зних       т ла за допомогою в дпов дної геометричних ф гур.    формули.

image
imageЗастосування інтегралів

Практичні приклади обчислення інтегралів

Обчислення нтеграл в за допомогою лишк в: В део на YouTube розглядає приклади, в яких з

використанням вичет в обчислюються нтеграли в д

imageфункц й комплексної зм нної по замкнутому контуру,

деяк нтеграли Р мана та несобственн нтеграли в д функц й д йсної зм нної1. Заняття ведеться українською мовою.

Застосування визначеного нтеграла: Інтеграл може бути використаний для обчислення площ плоских

ф гур у систем декартових та полярних координат, а також для знаходження роботи зм нної сили.

image
Висновки

Значення вивчення інтегралів для розвитку математичних навичок

imageРозум ння поняття площ та об’єму: Інтеграл допомагає нам обчислювати площу п д кривими л н ями, об’єм т л та нш геометричн характеристики. Наприклад, визначений нтеграл може вказати площу п д граф ком функц ї. Застосування в ф зиц та нженер ї: Інтеграл використовується для обчислення роботи, маси, центру мас, моменту нерц ї та багатьох нших параметр в. Наприклад, визначений нтеграл може допомогти обчислити роботу, яку виконує сила при перем щенн об’єкту.

imageimageimageМатематична анал з та диференц альн р вняння: Інтеграл є важливою частиною математичного анал зу. В н допомагає розв’язувати диференц альн р вняння, знаходити функц ї розпод лу ймов рност та багато ншого.

image П дготовка до вищих математичних курс в: Вивчення нтеграл в є передумовою для б льш глибокого розум ння математики. Вони

використовуються в курсах анал зу, векторного анал зу, теор ї поля та нших спец ал зованих дисципл нах.


pdf
Пов’язані теми
Алгебра, Презентації
Додано
27 лютого
Переглядів
25
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку