Презентація "Нерівності"

Про матеріал
Презентація "Нерівності" призначена для вивчення, повторення та систематизації знань та підготовки учнів до ЗНО.
Зміст слайдів
Номер слайду 1

Нерівності. Профільне вивчення. 10 – й клас. Дробові нерівностіНерівності із знаком модуля. Квадратичні нерівностіНерівності вищих степенів ЛінійнінерівностіТеорія. Теорія Метод парабол. Зауваження: в 11 класі будуть розглядатись ще ірраціональні , показникові, логарифмічні нерівності. Нерівності Метод інтервалів | х | > а |f (х)| > g(х) | х | < а Приклади. Приклади. Приклади. Приклади. Приклади. Приклади. Приклади. Приклади. Приклади. Приклади. Приклади. Приклади. Приклади. Завдання ЗНОТригонометричні нерівностіТеорія. Приклади|f (х)| >|g(х)| | f (х)| < g(х)

Номер слайду 2

Лінійна нерівність з однією змінною ах > b – лінійна нерівність, де а,b – деякі числаах > b – нерівність першого степеня, де а,b – деякі числа, причому а ≠ 0 Нерівність, до якої входить зміннa, нaзивaється нерівністю з однією змінною. Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає. Розв’язком нерівності з однією змінною називається значення цієї змінної, яке перетворює її на правильну числову нерівність. Рівносильні нерівності — це нерівності, що мaють одні й ті сaмі розв’язки. Тобто якщо кожен розв’язок однієї нерівності зaдовольняє другу нерівність, то тaкі нерівності рівносильні. Нaприклaд, нерівність x + 1 > 2 рівносильнa нерівностям x > 1, x – 1 > 0 тa іншим. Тотожнa нерівність — це нерівність, прaвильнa при всіх вкaзaних знaченнях змінних. Наприклад: а2 + b2 ≥ 2 аb. Властивості нерівностей зі змінними1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.х – 2 > 5; х > 5 + 2; х > 7.2. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.0,5х < 5; │× 2 х < 10;2х > 5; │: 2 х > 2,5.3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то дістанемо нерівність, рівносильну даній. 0,5х < 5; │× (- 2) х > - 10;2х > 5; │: (- 2) х < - 2,5. Меню

Номер слайду 3

Варто відзначити, що метод інтервалів також можна застосовувати при розв’язуванні раціональних нерівностей виду: , де Р(х) і Q(х) - многочлени. Щоб застосувати метод інтервалів для таких нерівностей їх, зазвичай, зводять до такого вигляду: Зауважимо, що таким чином, нерівності з дробами зводяться до нерівностей, які задані за допомогою добутку (оскільки знак частки та знак добутку співпадають), а до останніх може бути застосований метод інтервалів, якщо функції P(x), Q(x) розкладаються в добуток лінійних множників. Меню

Номер слайду 4

Варто відзначити, що метод інтервалів також можна застосовувати прирозв’язуванні раціональних нерівностей виду: , де Р(х) і Q(х) - многочлени. Щоб застосувати метод інтервалів для таких нерівностей їх, зазвичай, зводять до такого вигляду: Зауважимо, що таким чином, нерівності з дробами зводяться до нерівностей, які задані за допомогою добутку (оскільки знак частки та знак добутку співпадають), а до останніх може бути застосований метод інтервалів, якщо функції P(x), Q(x) розкладаються в добуток лінійних множників. Меню

Номер слайду 5

1. Нерівність виду | х | < а рівносильна системі х а - а. Меню

Номер слайду 6

Нерівність виду | х | > а рівносильна сукупності х а - а. Меню

Номер слайду 7

Нерівність виду | f (х) | < g(х) рівносильна системі Меню

Номер слайду 8

Нерівність виду | f (х) | > g(х) рівносильна сукупності Меню

Номер слайду 9

f 2(x) - g 2(x) > 0; (f (x) - g (x))( f (x) + g(x)) > 0. Далі використовуємо метод інтервалів.   Меню

Номер слайду 10

Розв’яжіть нерівність ах2 + bх + c < 0. Розв’язання Для розв’язування квадратичної нерівності можна використати метод парабол. Знайдемо корені многочлена: ах2 + bх + c = 0. Будуємо схематично параболу. Якщо знак старшого коефіцієнта а > 0, то вітки напрямлені вгору. Знаходимо на якому проміжку парабола знаходиться нижче осі Ох. Відповідь: х1 < х < х2. Якщо знак старшого коефіцієнта а < 0, то вітки напрямлені вниз. Знаходимо на якому проміжку парабола знаходиться нижче осі Ох. Відповідь: ( - ∞; х1) (х2 ; + ∞). Зауваження. Якщо знак нерівності нестрогий, то кружечки зафарбовані, а дужки- квадратні. Зверни увагу! Для розв’язування неповних квадратичних нерівностей так само застосовується метод парабол. x1 x2 х x1 x2 х. Меню

Номер слайду 11

Для розв’язування квадратичної нерівності ах2 + bх + c < 0. можна також використати метод інтервалів. Для цього потрібно розкласти ліву частину на множники: а (х – х1)( х - х2) < 0 . Поділимо обидві частини нерівності на а, враховуючи знак а.(х – х1)( х - х2) < 0 (а > 0) або (х – х1)( х - х2) > 0 (а < 0) . Відмічаємо нулі функції на координатній прямій, враховуючи знак нерівності, проводимо лінію знаків. Зверху ставимо знак плюс, а знизу – мінус. Відповідь: х1 < х < х2. Зверни увагу! Для розв’язування неповних квадратичних нерівностей так само застосовується метод інтервалів. aх2 – bх < 0; х (aх – b) < 0, х (х – b/a) < 0, (а > 0) ; Відповідь: 0 < х < b/a.    х2х1 Меню. Дещо ще

Номер слайду 12

Меню

Номер слайду 13

Метод інтервалів. Найбільш ефективним методом розв’язування раціональних та алгебраїчних нерівностей вищих степенів є метод інтервалів. Метод інтервалів розв’язування нерівностей ґрунтується на такій фундаментальній властивості монотонних функцій: будь-яка монотонна функція або зберігає свій знак на області визначення, або змінює його точно один раз у своєму нулі (тобто графік функції або не перетинає вісь абсцис, або перетинає її точно один раз). Для того, щоб можна було застосувати метод інтервалів, потрібно нерівність звести до такого вигляду: P(x) > 0 (1) або: P(x) < 0, P(x) ≤ 0, P(x) ≥ 0, де P(x) = аnxn + аn - 1xn – 1 + … + а1x + а0. Потім P(x) розкласти на множники: де х1, х2, … , хs – не рівні між собою корені многочлена, а х2 + р1х + q1, … , х2 + рsх + qs – квадратні тричлени, які не розкладаються на множники і які при довільному х набувають додатних значень. Тому, в залежності від знака коефіцієнта аn, нерівність (1) рівносильна нерівності: Q(x) = (або Q(x) < 0). Не порушуючи загальності, будемо вважати, що х1 < х2 <… < хs. Тоді корені х1, х2, … , хs розбивають числову пряму на проміжки знакосталості многочлена Q(x). Наносимо знайдені корені за допомогою кружечків (виколотий кружечок, якщо нерівність строга, зафарбований кружечок, якщо нерівність нестрога) на координатну пряму і проводимо лінію знаків справа на ліво, зверху вниз, враховуючи кратність кореня (якщо корінь непарної кратності, то лінія знаків перетинає координатну пряму; якщо корінь парної кратності, то лінія знаків пряму не перетинає). Розставляємо знаки: зверху – плюс, знизу – мінус. Записуємо відповідь, враховуючи знак нерівності. Якщо k1, k2, k3, k4,… , ks- 1 , ks – непарні показники, то маємо таке графічне зображення: Якщо k1, k3, … , ks- 1 – непарні, а k2, ks – парні показники,то маємо таке графічне зображення: хх2х1х3х4хs - 1хsхх2х1х3х4хs - 1хs. Меню

Номер слайду 14

Приклад (ЗНО 2010, 42,88% - відсоток учнів, які правильно розв'язали завдання) Розв’яжіть нерівність 10 – 3х > 4. Розв’язування10 – 3х > 4, – 3х > 4 – 10, – 3х > – 6, │: (- 3) Зверни увагу! Знак нерівності змінюється на протилежний, оскільки – 3 < 0.х < 2. Відповідь: ( - ∞; 2)Відповідь: ДМеню. АБВГД

Номер слайду 15

Розв’яжіть нерівність х2 – 3х + 2 < 0. Розв’язання Для розв’язування квадратичної нерівності можна використати метод парабол. х2 – 3х + 2 < 0; знайдемо корені многочлена х2 – 3х + 2; х2 – 3х + 2 = 0, оскільки сума коефіцієнтів дорівнює нулю, то х1 = 1, а х2 = 2. Будуємо параболу. Оскільки знак старшого коефіцієнта (а = 1, а > 0 – вітки напрямлені вгору) не збігається із знаком нерівності, то розв’язки даної нерівності знаходяться між коренями многочлена: 1 < х < 2. 1 2 х. Меню

Номер слайду 16

Для розв’язування квадратичної нерівності можна також використати метод інтервалів. Для цього потрібно розкласти ліву частину на множники: х2 – 3х + 2 = 0; х1 = 1, х2 = 2; (х - 1)( х - 2) < 0 . 1 < х < 2. Зверни увагу! Для розв’язування неповних квадратичних нерівностей так само застосовується метод інтервалів. х2 – 3х < 0; х (х – 3 ) < 0; 0 < х < 3.    х2 – 3 > 0; х2 – > 0; (х – )( х2 + ) > 0. ( ; - ) ( ; ). Розв’яжіть нерівність 2х ≥ х2. [ЗНО 2013]х2 - 2х ≤ 0, х(х - 2) ≤ 0, 0 ≤ х ≤ 2. Відповідь: Б. 2130 АБВГД20 Меню

Номер слайду 17

Розглянемо приклад ЗНО 2009. Розв’яжіть нерівність . У відповідь запишіть найбільший цілий розв’язок нерівності. Розв’язання. Оскільки ліва частина нерівності записана у «стандартному» (канонічному) вигляді, то можна застосувати метод інтервалів. Нанесемо нулі функції на координатну пряму, враховуючи кратність нулів – якщо парна кратність, то лінія знаків не перетинає координатну пряму. Якщо кратність нулів – непарна, то лінія знаків перетинає координатну пряму.   Увага! У відповідь головне не забути записати ті нулі, які не увійшли в проміжки знакосталості! Отже, враховуючи, що розв’язки повинні бути цілі, будемо мати: х = {-12; - 11; - 10; - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; 9}. Найбільше ціле число – 9. Відповідь: х = {9}.9-5- 12х. Меню

Номер слайду 18

Розглянемо приклад ЗНО 2014. Розв’яжіть нерівність . У відповідь запишіть суму всіх цілих її розв’язків. Розв’язання. Розкладемо ліву частину на лінійні множники: . Нанесемо нулі функції на координатну пряму, враховуючи кратність нулів – якщо парна кратність, то лінія знаків не перетинає координатну пряму. Якщо кратність нулів – непарна, то лінія знаків перетинає координатну пряму.  Оскільки нерівність не строга, то потрібно врахувати нулі, які не увійшли в проміжки знакосталості: . Тоді сума всіх цілих розв’язків буде дорівнювати – (- 21). Відповідь: - 21.-3-5- 9х. Меню

Номер слайду 19

Знайдіть кількість усіх цілих розв’язків нерівності Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100. [ЗНО 2009] (17,33%)Розв'язування. Замінимо частку системою: Розв'яжемо першу нерівність системи за допомогою методу інтервалів: , враховуючи, що х ≠ 1: Враховуючи умову, маємо, що цілих чисел буде – 7. Відповідь: 7.4-1- 3х. Меню

Номер слайду 20

Укажіть найбільше ціле число, яке є розв’язком нерівності [ЗНО 2007.] Розв'язування Замінимо частку добутком: Найбільше ціле число, яке належить даним проміжкам: 2. Відповідь: 2.1-9- 10х3 Меню

Номер слайду 21

АБВГД Розв’яжіть нерівність . [ЗНО 2008.] (36.04%) АБВГД Розв’яжіть нерівність 10 - 3х > 4. [ЗНО 2010.] (42,88%)АБВГД Розв’яжіть нерівність . [ЗНО 2011.] (28,90%)АБВГД(7; + ∞)(- 1; 7)(- 1; 7) (7; + ∞)(- 1; + ∞)(- ∞; - 1) (7; + ∞) Розв’яжіть нерівність (х + 4)(х - 7) > 3(х - 7) . [ЗНО. 2012.] (30,75%)АБВГД( - ∞; 8]( - ∞; 0]( - ∞; 4][ - 8; 8][ - 8; 0]Розв’яжіть нерівність (х + 4)2 ≤ 16. [ЗНО 2014] (32,27%) Знайдіть кількість усіх цілих розв’язків нерівності Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100. [ЗНО 2009] (17,33%) Розв’яжіть нерівність . У відповіді запишіть суму всіх цілих її розв’язків. [T. 2013] (10,54%)Меню

Номер слайду 22

Розв'яжіть нерівність |3х - 1| < 2. Задана нерівність рівносильна системі: Відповідь: Меню

Номер слайду 23

Розв'яжіть нерівність |4х - 3| > 5. Задана нерівність рівносильна сукупності нерівностей: Відповідь: Меню

Номер слайду 24

Розв'яжіть нерівність |х + 5| < 2х + 3. Задана нерівність рівносильна системі: Відповідь: Меню

Номер слайду 25

Розв'яжіть нерівність |2х - 7| ≥ х - 2. Задана нерівність рівносильна сукупності нерівностей: Відповідь: Меню

Номер слайду 26

Розв'яжіть нерівність |4х - 1| ≥ | х + 2 |.|4х - 1| ≥ | х + 2 |22(4х – 1) ≥ ( х + 2 )22(4х – 1- ( х + 2 )) (4х – 1+ х + 2 ) ≥ 0(3х – 3) (5х + 1) ≥ 0(х – 1) (х + 1/5) ≥ 0 Відповідь: Меню

Номер слайду 27

yxаarcsin а-(π + arcsin а)Найпростіші тригонометричні нерівностіsin t < а. Відповідь: (- π - arcsin а) + 2πk; arcsin а + 2πk), Далі1. Будуємо одиничне тригонометричне коло2. Будуємо пряму: у = а 3. Знаходимо на одиничному колі точки, значення ординат яких не менші за а 4. Обчислюємо значення функції в граничних точках. 5. Враховуючи періодичність функції у = sin t, записуємо відповідь.

Номер слайду 28

yxаarccos а- arccos аcos t > а. Відповідь: (- arccos а + 2πk; arccos а + 2πk), Далі1. Будуємо одиничне тригонометричне коло2. Будуємо пряму: х = а 3. Знаходимо на одиничному колі точки, значення абсцис яких більші за а 4. Обчислюємо значення функції в граничних точках. 5. Враховуючи періодичність функції у = соs t, записуємо відповідь.

Номер слайду 29

yx-а -arctg аπ/2tg t > - а. Відповідь : (- arctg а + πk; π/2 + πk), Далі4. Зверху (на червонному промені) лежать точки, ординати яких більші за -а. Відмічаємо точки дуги, що відповідають даним точкам променя 1. Будуємо одиничне тригонометричне коло2. Будуємо лінію тангенсів: пряму х = 13. Відмічаємо на ній точку з ординатою - а5. Враховуючи область визначення та періодичність функції у = tg t, записуємо відповідь.

Номер слайду 30

yxа0arcctg аctg t > а. Відповідь: ( πk; arcctg а + πk), Меню4. Справа (на червонному промені) лежать точки, абсциси яких більші за а. Відмічаємо точки дуги, що відповідають даним точкам променя 1. Будуємо одиничне тригонометричне коло2. Будуємо лінію котангенсів : пряму у = 1 3. Відмічаємо на ній точку з абсцисою а 5. Враховуючи область визначення та періодичність функції у = ctg t, записуємо відповідь.

Номер слайду 31

Приклад 1 Розв’язати нерівність: 1. Будуємо одиничне тригонометричне колоyx011-1-1у2. Будуємо пряму t1t23. Знаходимо на одиничному колі точки, значення ординат яких не менші за4. Обчислюємо значення функції в граничних точках: 5. Отже, розв’язком нерівності будуть усі значення t із проміжку 6. Враховуючи періодичність функції у = sin t,записуємо відповідь. Відповідь: Далі

Номер слайду 32

Приклад 2 Розв’язати нерівність: 1. Будуємо одиничне тригонометричне колоyx011-1-1у2. Будуємо пряму t1t2 С3. Знаходимо на одиничному колі точки, абсциси яких менші за4. Обчислюємо значення функції в граничних точках: 5. Отже, розв’язком нерівності будуть усі значення t із проміжку 6. Враховуючи періодичність функції у = cos t, записуємо відповідь. Відповідь: Далі

Номер слайду 33

4. На промені АТ лежать точки, ординати яких менші за 1. Їм відповідають такі точки на колі: Приклад 3 Розв’язати нерівність: 1. Будуємо одиничне тригонометричне колоyx011-1-12. Будуємо лінію тангенсів АТ: пряму А(1;1)3. Відмічаємо на ній точку А з ординатою 1 Враховуючи область визначення тангенса та періодичність: записуємо відповідь. Відповідь: ТДалі

Номер слайду 34

4. На промені АТ лежать точки, абсциси яких більші за Приклад 4 Розв’язати нерівність: 1. Будуємо одиничне тригонометричне колоyx011-1-12. Будуємо лінію котангенсів АТ: пряму А( ; 1)3. Відмічаємо на ній точку А з абсцисою Враховуючи область визначення котангенса та періодичність: записуємо відповідь. Відповідь: ТЇм відповідають точки на колі: Меню

Номер слайду 35

Номер слайду 36

Дякую за увагу!

Номер слайду 37

Презентація створена вчителем математики. Житомирського міського ліцею при ЖДТУПанським Володимиром Анатолійовичем2019

Середня оцінка розробки
Структурованість
5.0
Оригінальність викладу
4.5
Відповідність темі
4.5
Загальна:
4.7
Всього відгуків: 2
Оцінки та відгуки
  1. Зеніна Світлана Савеліївна
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
  2. Короб Любов Микитівна
    Загальна:
    4.3
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    4.0
    Відповідність темі
    4.0
pptx
До підручника
Алгебра і початки аналізу (профільний рівень) 10 клас (Мерзляк А.Г., Номіровський Д.А., Полонський В.Б., Якір М.С.)
Додано
26 березня 2019
Переглядів
8728
Оцінка розробки
4.7 (2 відгука)
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку