Тести від «На Урок»: Організація дистанційної роботи під час карантину

Урок „Застосування похідної“

Про матеріал
Урок-форум дає можливість перевірити знання учнями формул для знаходження похідної та вміння застосовувати їх до розв’язування задач; розвивати творче мислення учнів; виховувати наполегливість, уважність і зосередженість.
Перегляд файлу

 

Тема. Застосування похідної.

Мета. Перевірити знання учнями формул для знаходження похідної та вміння застосовувати їх до розв’язування задач; розвивати творче мислення учнів; виховувати наполегливість, уважність і зосередженість.

Тип. Урок-форум

Обладнання. Мультимедійна дошка, картки для індивідуальних завдань

 

 

Хід уроку

 

 

Математика цікава тоді, коли дає

                                                                      поживу нашій винахідливості

                                                               й здатності до міркувань.

 

Д.Пойа

 

 

І Організаційний момент

 

Вдома учні повинні були повторити теоретичний матеріал, що стосується даної теми, а також переглянути у своїх зошитах задачі, які розв’язували на попередніх уроках.

Учнів заздалегідь попереджено про урок-форум і поділено на дві команди, приблизно однакового рівня підготовки. Команди обирають капітанів. На урок запрошують двох експертів-учителів і двох спостерігачів(учнів з паралельних класів).

Форум проводиться у шість турів:

 

І    тур    „Великий ерудит“;

ІІ   тур    „Поспішайте знайти“;

ІІІ  тур    „Вибираємо правильну відповідь“;

ІV  тур    „Малювалки“ ;

V   тур     „Бліц-турнір“;

VІ  тур     „Обганялки“.

 

За підсумками всіх турів експерти та спостерігачі визначають команду-переможницю, а також „щасливчиків“ (учнів, які одержали 12 балів) і „зірок“ першої, другої та третьої величини (учнів, які одержали 15 і більше балів).

Перед початком форуму повідомляється його тема, мета і правила проведення, яких слід дотримуватися; знайомляться присутні з капітанами команд, представляються експерти та спостерігачі.

І    тур    „Великий ерудит“

 

Беруть участь капітани команд, які повідомляють історичну довідку про похідну     (2 б).

Історична довідка.

 

До відкриття похідної незалежно один від одного прийшли два відомих вчених – І.Ньютон і Г. Лейбніц наприкінці Х VІІ ст.

 

 

 

 

 

 

 

 

         Архімед                              І.Ньютон                            Г. Лейбніц

І.Ньютон, означаючи похідну, виходить із задач механіки, а Г. Лейбніц – із геометричних задач. Г. Лейбніц розв’язав задачу про побудову дотичної, а І.Ньютон – прийшов до поняття похідної, виходячи з положень механіки і визначаючи миттєву швидкість під час нерівномірного прямолінійного руху.

Проте ще задовго до цього Архімед розв’язав задачу про побудову дотичної до кривої та знайшов максимум функції

f(x)= x2(a-x)

 

Похідна – це швидкість зміни функції. Нехай матеріальна точка рухається вздовж координатної прямої х за законом х=х(t). Тоді похідна від координати за часом у даний момент є швидкістю руху в цей момент часу. У цьому і полягає її механічний зміст.

У Г. Лейбніца первісним поняттям для похідної була дотична. Існування похідної функції у= f(x) у точці х0 рівносильне існуванню дотичної (не вертикальної) у даній точці графіка, кутовий коефіцієнт якої дорівнює f'(x0). Це і є геометричним змістом похідної.

 

ІІ   тур    „Поспішайте знайти“

 

На дошці подана таблиця. Команди повинні визначити, яке завдання „заховане“ в таблиці і виконати його усно. За кожну правильну відповідь команді нараховується 1 бал.

 

Функція

?

1

f(x)= х2+cos x

2x-sinx

2

f(x)= sin2x

?

3

f(x)=

?

4

f(x)= ctg x

?

5

f(x)= cos2x cos5x+ sin2x sin5x

?

6

f(x)=

?

 

ІІІ  тур    „Вибираємо правильну відповідь“

 

Для кожної команди на дошку проектується таблиця з тестами. Кожен учень на окремому аркуші записує відповідь. За кожну правильну відповідь учнім нараховується 1 бал. Аркуші здаються на перевірку спостерігачам. Кожен учень одержує свої бали, а команді ставиться середній бал.

Тести.

 

І команда

1. Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у= sinx у точці х0= дорівнює:

а)  ;     б) - ;       в) ;        г)  -.

2. Функція у= - х2 +2х-3 спадає на проміжку:

а)  [1; +∞) ;     б)(- ∞; 1];        в) (- ∞;1] [1; +∞);        г)  (-∞;+∞).

3. Для функції у=  х2 +2х-3 екстремумом буде:

а) уmax = у(-1)= -4 ;  б) ymin= у(-1)= -4;   в) уmax = у(2)= 7;   г)  ymin= у(-2)= -9.

4. Найбільше і найменше значення функції у= х3 -3х на відрізку [0;2] дорівнює

а) 2 і -2;    б) -2 і 4;     в) 4 і -4;      г) 2 і -4.

5. На малюнку зображено графік функції

у= f(x). На яких проміжках області визначення функції похідна її від’ємна:

а)   (-∞;+∞);     б) (- ∞; 0) (0; +∞);      

в)  (0; +∞);        г)  інша відповідь.

 

 

ІІ команда

1. Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у= соsx у точці х0= дорівнює:

а)  ;     б) - ;       в) ;        г)  -.

2. Функція у=  х2 - 2х+3 зростає на проміжку:

а)  [1; +∞) ;     б)(- ∞; 1];        в) ( -∞;1] [1; +∞);        г)  (-∞;+∞).

3. Для функції у=  - х2 +4х+3 екстремумом буде:

а) уmax = у(-1)= -4 ;  б) ymin= у(-1)= -4;   в) уmax = у(2)= 7;   г)  ymin= у(-2)= -9.

4. Найбільше і найменше значення функції у= 6х - 2х3 на відрізку [0;2] дорівнює

а) 2 і -2;    б) -2 і 4;     в) 4 і -4;      г) 2 і -4.

5. На малюнку зображено графік функції

у= f(x). На яких проміжках області визначення функції похідна її додатна:

а)   (-∞;+∞);     б) (- ∞; 0) (0; +∞);      

в)  (0; +∞);        г)  інша відповідь.

 

 

ІV  тур    „Малювалки“

На слайді подано графік функції у= f(x).

Знайти графік похідної цієї функції:

а)

 

 

 

 

 

б)         у                                             в)                        у

 

                               х                                                                 х

                                                                                     -2

 

г)

 

 

 

 

 

Команда, яка швидше і правильно виконає завдання, отримає 1 бал.

 

V   тур     „Бліц-турнір“

 

Учні виконують самостійну роботу, яку перевіряють експерти та спостерігачі. Команді нараховується середній бал.

 

Варіант 1.

1 (1б). Точка рухається за законом S(t)=3t2 -2t+4, де t – час у секундах, S-переміщення у метрах. Знайти швидкість руху у момент часу t=2.

2(2б). Число 48 подайте у вигляді суми двох додатних чисел так, щоб їх добуток був найбільшим.

Варіант 2.

1 (1б). Точка рухається за законом S(t)=4t2 -2t+1, де t – час у секундах, S-переміщення у метрах. Знайти швидкість руху у момент часу t=2.

2(2б). Число 36 подайте у вигляді суми двох додатних чисел так, щоб їх добуток був найбільшим.

 

У цей час по одному сильному учню від команд розв’язують на дошці задачі.

1. Число 54 записане у вигляді суми трьох додатних чисел. Відомо, що перше у 2 рази більше від другого. Знайти ці числа,знаючи, що їх добуток найбільший. (3 бала).

2. Знайти найбільше і найменше значення функції на даному проміжку:

у= 2 sin 2 х – соsx, [ -].

 

VІ  тур     „Обганялки“

 

Це тур- естафета, в якій беруть учать по 8 учнів від кожної команди. Їм необхідно дослідити функцію та побудувати її графік. (8 кроків). Кожна правильна відповідь -1 бал.

Перша команда                                       Друга команда

 Дослідити функцію та побудувати її графік:

f(x)=  3х –х3                                                     f(x)= х4 -4х2

 

 

Підсумок уроку та оцінювання.

 

Експерти визначають команду-переможницю та оцінюють роботу кожного учня; за кількістю набраних балів визначають „щасливчиків“ та зірок турніру.

 

Відповіді до завдань.

ІІ тур

 

Функція

?

1

f(x)= х2+cos x

2x-sinx

2

f(x)= sin2x

2 соs 2x    ?

3

f(x)=

?

4

f(x)= ctg x

-?

5

f(x)= cos2x cos5x+ sin2x sin5x

= (cos3x)'= -3sin3x?

6

f(x)=

= (tg4x)'=?

 

ІІІ тур

 

Варіант 1.     1. в);     2. а);       3. б);         4.  а);       5.    б).

 

Варіант 2.     1. б);     2. а);       3. в);         4.  в);       5.    г).

 

ІV  тур   

г)

 

 

 

 

 

 

V   тур    

Варіант 1.

 

1. S(t)=3t2 -2t+4,  t =2с.   ν(t)= S'(t)=6t-2.    ν(2)= 6∙2-2=10(м/с)

2. Нехай перший доданок х, тоді другий – 48-х. Їх добуток П(х)=48х-х2.

П'(х)=48-2х. П'(х)=0, 48-2х=0.   2х=48, х=24.

0≤х≤48.  П(0)=0;    П(24)=24∙24=576;      П(48)= 48∙0=0.

Добуток найбільший, якщо кожен з доданків дорівнює 24.

 

Варіант 2.

1. S(t)=4t2 -2t+1,  t =2с.    ν(t)= S'(t)=8t-2.    ν(2)= 8∙2-2=14(м/с)

2. Нехай перший доданок х, тоді другий – 36-х. Їх добуток П(х)=36х-х2.

П'(х)=36-2х.   П'(х)=0,   36 -2х=0.   2х=36, х=18.

0≤х≤36.  П(0)=0;    П(18)=18∙18=324;      П(36)= 36∙0=0.

Добуток найбільший, якщо кожен з доданків дорівнює 18.

 

Індивідуальні завдання:

 

Картка 1, 2.  (по 3 бала кожне завдання)

1. Нехай друге перше число х, тоді перше 2х, а третє –(54-3х). Їх добуток   П(х)=2х∙х∙(54-3х)= 108х2-6х3.

П'(х)=216х-18х2.   

П'(х)=0,  216х-18х2=0.    12х-х2=0,   х(12-х)=0,    х1=0,  х2=12.

0≤х≤54.   П(0)=0;    П(12)= 108∙122-6∙123= 15552-10368=5184;   П(54)= 108∙542--6∙543= 542 (108-324)=2916∙(-216)=-629 856.

Отже, друге число 12, перше  - 24, а третє – 18.

Відповідь. 24; 12; 18.

 

2.  Знайти найбільше і найменше значення функції на даному проміжку:

у= 2 sin 2 х – соsx, [ -].

Розв’язання.

 у' =2∙2sin2x cos x+2 sin2x= 4 sin2x.

у' =0,   4 sin2x=0.       sin2x=0;   2x=πn,  nZ,    x=,  nZ.

Проміжку  [ -] належить х=0.

у(-)=2 sin2(-)-cos 2(-)=2∙-0=1;

у(0)= 2 sin20-cos 0 = -1;

у()=2 sin2-cos =2∙-0=1.

min y = y(0)=-1,      max y= y (-)=y()=1.

[-]                                  [-]

 

 

 

VІ  тур    

 

Варіант 1.

 

f(x)=  3х –х3                 

 

Розв’язання.

1. D(f)=R

2. Парність. f(-x)=3(-x)-(-x3) = -3x+x3 = -(3x-x3)= -f(x). Отже, функція непарна.

3. Нулі функції: 0;  -;  .

Проміжки знакосталості функції:

    f(x)>0, якщо х (-∞;-) (0; );       f(x)< 0,  якщо х (-;0) (;+∞).

4.    f ' (x)=3-x2 = 3(1-х)(1+х).

5. Критичні точки.   f ' (x)=0;   3(1-х)(1+х)=0,   х=1, х=-1.

6. Знаки похідної і поведінка функції на проміжках, на які розбили область визначення критичні точки:

 

f ' (x)         -             +                  -

 

f(x)              -1                    1                     х

 

7. Екстремуми.

 

ymin= y(-1)=-2,      ymax= y(1)=2,     

 

8.   

                                           y

 

 

                                   2

                                   1

 

 

                       -2     -1   0        1    2                   x

                                  -1

                                   -2

 

 

Варіант 2.

 

f(x)= х4-4x2                

 

Розв’язання.

1. D(f)=R

2. Парність. f(-x)=(-x)4-4(-x)2 = x4-4x2 = f(x). Отже, функція парна.

3. Нулі функції: 0;  -2;  2.

Проміжки знакосталості функції:

    f(x)>0, якщо х (-∞;-2) (2;+ ∞);       f(x)< 0,  якщо х (-2;0) (0;2).

4.    f ' (x)= 4x3 - 8x.

5. Критичні точки.   f ' (x)=0;  4x3 - 8x =0,   х=0, х=-, x=

6. Знаки похідної і поведінка функції на проміжках, на які розбили область визначення критичні точки:

 

f ' (x)         -                 +                  -                   +

 

f(x)                 -                 0                            х

 

7. Екстремуми.

 

ymin= y(-)=y()=-4,      ymax= y(0)=0,     

 

 

8.                                 y

 

 

                                  

                       -2     -1   0        1      2                 x

                                  -1

 

 

 

                                   -4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

doc
До підручника
Алгебра і початки аналізу (академічний рівень) 10 клас (Мерзляк А.Г., Номіровський Д.А., Полонський В.Б., Якір М.С.)
Додано
30 березня 2019
Переглядів
445
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку