Презентація "Описане та вписане кола в трикутник"

Описане та вписане кола трикутника Виконала: Ярошенко З. В.

Серединний перпендикуляр. Серединним перпендикуляром до відрізка називають пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярного до нього. Теорема 1. (властивість серединного перпендикуляра до відрізка) Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. L Доведення: L – серединний перпендикуляр до відрізка АВ. К - середина відрізка АВ. Розглянемо довільну точку Р середин- ного перпендикуляра і доведемо, що РА=РВ. Якщо точка Р збігається з К, то рівність РА=РВ очевидна. Якщо точка Р відмінна від К, то прямокутні трикутники РКА і РКВ рівні за двома катетами. Тому РА=РВ. Доведено АВРК

Коло описане навколо трикутника. Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі вершини цього трикутника. Теорема 2. Навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Дано: АВС Довести: О рівновіддалена від А, В і С. Доведення: k і L- серединні перпендикуляри АВ і АС. О-точка перетину прямих k і L. ОА = ОВ = ОС . Точка О рівновіддалена від А, В, С. LACBOk

Наслідок 1: Три серединних перпендикуляри сторін трикутника перетинаються в одній точці. Наслідок 2: Центр кола, описаного навколо трикутника, - це точка перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника. АСВОk. L

Задача 1. Доведіть, що центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи, а радіус цього кола дорівнює половині гіпотенузі. Доведення: Нехай АВС – прямокутний (кут С = 90 ), СО – його медіана. Оскільки медіана прямокутного трикутника, що проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, то СО = АВ:2. Але АО = ОВ. Тому АО=ВО=СО. Отже, точка О рівновіддалена від вершин трикутника АВС. Тому коло, центром якого є точка О, а радіусом – ОА, проходить через усі вершини трикутника АВС. Отже, коло, центром якого є середина гіпотенузи, а радіус дорівнює половині гіпотенузи, є описаним навколо прямокутного трикутника АВС. АВСО

Задача 2. Доведіть, що радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, визначають за формулою r = (a+b-c):2,де r – радіус вписаного кола, а і b – катети, с – гіпотенуза. Дано: АВС , кут АСВ = 90 , ВС=а, АС=b, АВ=с точка О - центр вписаного кола, М, Е, К – точки дотику вписаного кола до сторін ВС, АС і АВ відповідно ОМ, ОЕ і ОК – радіуси. Розв’язання: ОМ ВС. Промінь СО – бісектриса кута АСВ. Трикутник СМО – прямокутрий, кут СОМ = 45 СМО - рівнобедренний. Звідси СМ=ОМ=r, СЕ=ОЕ=r, СЕ=СМ=r, АЕ=b-r, АЕ=АК=b-r ВК=ВМ=а-r АК+ВК=АВb-r+а-r=с -2r+а+b=с а+b-с=2r r = (a+b-c):2 АСВЕОМК

Коло вписане в трикутник. Теорема 1 (властивість бісектриси кута). Будь-яка точка бісектриси кута рівновіддалена від сторін цього кута. Доведення. Виберемо на бісектрисі кута А довільну точку К і проведемо з точки К перпендикуляри КВ і КС – відстані від точки К до сторін кута А. Доведемо, що КВ=КС. Розглянемо АКВ і АКС ( кут В = куту С = 90 ). АК – їх спільна гіпотенуза, кут ВАК = куту САК (бо АК – бісек- триса). Отже, АКВ = АКС (за гіпотенузою і гострим кутом). Тому КВ = КС. Теорему доведено. АСВК

Коло називають вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх сторін цього трикутника. Теорема 2 (про коло, вписане в трикутник). У будь-який трикутник можна вписати коло. Дано: АВС Довести: коло дотикається до АВ, ВС, і АС Доведення: АО і ВО – бісектриси. ОМ, ОN і ОР – перпендикуляри до сторін. ОМ = ОР ОМ = ОN Нехай ОМ = r, OM = ON = OP = r. Точка О є центром кола, яке дотикається до сторін АВ, ВС і АС. Наслідок 1. Бісектриси кутів трикутника перетинаються в одній точці. Наслідок 2. Центр кола, вписаного в трикутник, - це точка перетину бісектрис АВСОМNР