векторний метод розв'язування задач

Векторний метод розв'язування задач. Підготувала Яровенко Тетяна Володимирівна. Вилянська загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів. Вила 2014

Схема розв'язання задач векторним методом

Основні геометричні факти мовою векторів. Точки А і В збігаються. АВ=О або ОА=ОВ, де О- деяка точка площини. ОА(В)Твердження мовою геометріїТвердження мовою векторів. АВ=СD.𝐴𝐵2=𝐶𝐷2 Твердження мовою геометріїТвердження мовою векторів. ABDC

АВІІСD𝐴𝐵=k𝐶𝐷, k≠0 Твердження мовою геометріїТвердження мовою векторів. АВСDТвердження мовою геометріїТвердження мовою векторів. АВ⏊CD 𝐴𝐵∗𝐶𝐷=0 ВАDC

∟AВС=φcosφ=ОА∗ОВОА∗ОВ  Твердження мовою геометріїТвердження мовою векторів. ОАВТвердження мовою геометріїТвердження мовою векторів. Точка С лежить на прямій АВ𝐴𝐵=k𝐴𝐶, або ОС=р. ОА+(1-р)ОВ, де точка О- деяка точка площини. ВОАCφ

С є АВ, АС: СВ=m:n𝐴𝐶 =mn 𝐶𝐵 або ОС =nm+n. ОА+𝑚m+n𝑂𝐵, Твердження мовою геометріїТвердження мовою векторів. ОАВТвердження мовою геометріїТвердження мовою векторів. С- середина АВАС=СВ або. ОС =12(ОА+ОВ), де О-деяка точка площини. СОАCВ

ДИДАКТИЧНІ ІГРИ:№903* Правильний трикутник АВС вписано в коло. Точка М – деяка точка кола. Доведіть, що сума МА2+МВ2+МС2 не залежить від вибору точки М. АВСМОМА=МО+ОА, МВ=МО+ОВ, МС=МО+ОС, МА2=(МО+ОА)2=МО2+2 МО∗ОА+ОА2, МВ2=(МО+ОВ)2=МО2+2 МО∗ОВ+ОВ2, МС2=(МО+ОС)2=МО2+2 МО∗ОС+ОС2, Додамо почленно дані рівностіМА2+МВ2+МС2= МО2+2 МО∗ОА+ОА2+МО2+2 МО∗ОВ+ОВ2+МО2+2 МО∗ОС+ОС2=6𝑅2+ 2 МО(ОА+ОВ+ОС) МА𝟐+МВ𝟐+МС𝟐=6𝑹𝟐 Сума квадратів указаних відстаней не залежить від положення точки М на колі, а залежить лише від радіуса. О

ДИДАКТИЧНІ ІГРИ:№896 Доведіть,що відрізок,що сполучає середини бічних сторін трапеції, паралельний основам і дорівнює їх півсумі. АСDBДано: трапеція АBCD, KL- cередня лінія. Довести: 1) KL=ВС+𝐴𝐷2,  2) KL II AD, KL ІІ ВС LKДоведення. Подамо вектор 𝑀𝑁 через вектори 𝐵𝐶 і А𝐷 𝐾𝐿=𝐾𝐿+𝐵𝐶+𝐶𝐿,     𝐾𝐿=𝐾𝐴+𝐴𝐷+𝐷𝐿, Додамо одержані рівності : 2𝐾𝐿=𝐾𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐿+𝐾𝐴+𝐴𝐷+𝐷𝐿, оскільки 𝐾𝐵+𝐾𝐴=0,𝐷𝐿+𝐶𝐿=0, тоді 𝐾𝐿=𝐵𝐶+𝐴𝐷2, 2)Щоб довести, що KL II BC достатньо встановити, що 𝐾𝐿 колінеарний ВС, тобто існує таке число k, що 𝐾𝐿 =k 𝐵𝐶,    ВС колінеарний А𝐷,а отже існує число 𝑘1, для якого справжується рівність ВС =𝑘1 А𝐷.                  𝐾𝐿=𝐵𝐶+𝐴𝐷2=𝑘1 𝐴𝐷+  𝐴𝐷 2=12(𝑘1+1)𝐴𝐷=k𝐴𝐷. Отже,𝐾𝐿 колінеарний 𝐴𝐷. Оскільки ВС ІІ AD і AD II KL, то ВС ІІ КL 

ДИДАКТИЧНІ ІГРИ:№907* Доведіть нерівність 4𝑎+1+ 4𝑏+1≤12 за умови , що a+b=1. Доведення. Введемо вектори 𝑚(4𝑎+1; 4𝑏+1 і  𝑛(1;1). Знайдемо їх скалярний добуток.𝑚∙𝑛= 4𝑎+1∙1+ 4𝑏+1∙1= 4𝑎+1+ 4𝑏+1 𝑚∙𝑛=𝑚∙ 𝑛cosφ 𝑚=4𝑎+12+(4𝑏+1)2=4𝑎+1+4𝑏+1=4𝑎+𝑏+2=4∙1+2=6,𝑛=1+1=2, 𝑚∙𝑛=𝑚∙ 𝑛cosφ=6 ∙2∙cosφ 4𝑎+1+ 4𝑏+1=𝑚∙𝑛=6 ∙2∙cosφ≤𝑚∙ 𝑛=12 Маємо: 4𝑎+1+ 4𝑏+1≤12