Презентація. "Похідна. Геометричний та маханічний зміст похідної"

Похідна. Алтинівський ліцей Кролевецької міської ради, Сумської областівчитель математики Грамм Елеонора Степанівна 2020-2021 н.р.

Означення похідноїфункціїв точці.

xy0 AB ∆f =9 –4=5 –приріст функції; ∆x =3 – 2=1– приріст аргумента;y=x2119423 C середня швидкість зміни функції

xy0x0x∆xсічнадотична. Нехай дана крива – графік функціїABαβf(x0)f(x0+∆x)∆f – приріст функціїX0 – фіксоване значення аргументу∆x – приріст аргументу∆fα∆x∆ftg α=style.colorfillcolorfill.typefill.onstyle.colorfillcolorfill.typefill.on

xy0x0x∆x∆x→0x→x0січнадотична. ABB→Aβ∆f→0α→ βαf(x)→f(x0)r

хy0 k –кутовий коефіцієнт прямої(січної)дотичнасічна. РР1 Означення похідної від функції в даній точці.

Отже, за означенням похідної функції в довільній точці з D(f) називається: Геометричний зміст похідної: Фізичний зміст похідної або механічний зміст похідної: миттьова швидкість зміни функції.xy0x0дотична. Aβ

«Якщо продовжити одну із маленьких ланок ламаної, яка складає криву лінію, то ця продовжена таким чином сторона буде називатися дотичною до кривої.»1. Геометричний зміст похідної.

Дотична до кривої. IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

хy0 k –кутовий коефіцієнт прямої(січної)Січна прямує зайняти положення дотичної. Отже, дотична це граничне положення січної.дотичнасічна1. Геометричний зміст похідної. РР1 При ∆х → 0 кутовий коефіцієнт січної →до кутового коефіцієнта дотичної style.colorfillcolorfill.type

хy0 k –кутовий коефіцієнтпрямої(дотичної)дотична. Геометричний зміст похідної. Похідна від функції в даній точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в цій точці.

хy0 дотична. Кутовий коефіцієнт дотичної можна знайти як границю виразу: Рівняння дотичної до кривої y=f(x) у точці (x0;f(x0)):y-f(x0)=f´(x0)(x-x0). М

Задача 1 Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(x)=х2−4х у точці з абсцисою х0=1 . Виконайте схематичний малюнок. ху0-1-2-3-41234 Розв’язання1. Запишемо рівняння дотичної до графіка функції: Y= f′(𝑥0)𝑥−𝑥0+𝑓(𝑥0) 2. Знайдемо значення функції в даній точці, х0=1. Маємо: 𝑓𝑥0=𝑓1=1−4=−3. 3. Знайдемо значення похідної в даній точці, х0=1. Маємо: f′(𝑥0)= f′(1)==lim∆𝑥→0(1+∆𝑥)2−41+∆𝑥−1+4∆𝑥=lim∆𝑥→01+2∆𝑥+∆𝑥2−4−4∆𝑥−1+4∆𝑥=lim∆𝑥→0−2∆𝑥+∆𝑥2∆𝑥 ==lim∆𝑥→0∆𝑥(−2+∆𝑥)∆𝑥 =-2 Підставляємо значення х0=1,𝑓𝑥0=-3, f′(𝑥0)=-2 у рівняння дотичної: у=-2(х-1)-3=-2х+2-3. Остаточно у=-2х-1- шукане рівняння дотичної у=-2х-1

Ісаак Ньютон (1643 – 1727) «Коли величина є максимальною або мінімальною, в цей момент она не течет ні вперед, ні назад.»2. Механічний зміст похідної.

∆St1t2∆t =t2–t1 S1 S2 При Δt0 Миттьова швидкість

.Δх – переміщення тілаΔt – проміжок часу протягом якого виконувався рух2. Механічний зміст похідної.

Література. В. А. Подольський,М. А. Суходський. Збірник задач з математики для техніків-програмістів. – М. Вища школа,1978. Вища математика. Частина 1. Елементи алгебри та аналітичної геометрії, диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. – Харків, 1991.