Презентація "Рене Декарт і математика"

РЕНЕ ДЕКАРТ І МАТЕМАТИКАЛариса Желєзнякова, викладач вищої категорії, старший викладач

Французький філософ, фізик, фізіолог, математик, основоположник аналітичної геометрії. У математиці Декарт запровадив Декартову систему координат, дав поняття змінної величини і функції, ввів багато алгебраїчних позначень. У фізиці він сформулював закон збереження кількості руху, запровадив поняття імпульсу сили. Декарт — автор методу радикального сумніву в філософії, механіцизму у фізиці, передтеча рефлексології.

Математика і Декарт. У 1637 побачила у світ головна математична праця Декарта, «Міркування про метод» (повна назва: «Міркування про метод, що дозволяє направляти свій розум і відшукувати істину в науках»). Особливо слід відзначити перероблену Декартом математичну символіку Вієта, з цього моменту близьку до сучасної. Коефіцієнти він позначав a, b, c ..., а невідомі — x, y, z. Натуральний показник степеня прийняв сучасний вигляд (дробові і негативні утвердилися завдяки Ньютону). З'явилася риска над підкореневим виразом. Рівняння приводяться до канонічної форми (у правій частині — нуль). У цій книзі викладалася аналітична геометрія, а в додатках — численні результати в алгебрі, геометрії, оптиці (у тому числі — правильне формулювання закону заломлення світла) і багато чого іншого.« Міркування про метод» Декарта

Символічну алгебру Декарт називав «Загальною математикою», і писав, що вона повинна пояснити «все що відноситься до порядку і міри». Створення аналітичної геометрії дозволило перевести дослідження геометричних властивостей кривих і тіл на алгебраїчну мову, тобто аналізувати рівняння кривої в деякій системі координат. Цей переклад мав той недолік, що тепер треба було акуратно визначати справжні геометричні властивості, які не залежать від системи координат (інваріанти). Однак і переваги нового методу були винятково великі, і Декарт продемонстрував їх у тій же книзі, відкривши безліч положень, невідомих древнім і сучасним йому математикам.

У додатку «Геометрія» були дані методи розв'язання алгебраїчних рівнянь (у тому числі геометричні та механічні), класифікація алгебраїчних кривих. Новий спосіб завдання кривої — за допомогою рівняння — був вирішальним кроком до поняття функції. Декарт формулює точне «правило знаків» для визначення числа додатних коренів рівняння, хоча і не доводить його.

Декарт досліджував алгебраїчні функції (многочлени), а також ряд «механічних» (спіралі, циклоїди). Для трансцендентних функцій, на думку Декарта, загального методу дослідження не існує. Комплексні числа ще не розглядалися Декартом на рівних правах з дійсними, однак він сформулював (хоча і не довів) основну теорему алгебри: загальна кількість дійсних і комплексних коренів алгебраїчного рівняння дорівнює його степеню. Від'ємні корені Декарт за традицією іменував помилковими, проте об'єднував їх з додатними терміном дійсні числа, відокремлюючи від уявних (комплексних). Цей термін увійшов у математику. Втім, Декарт виявив деяку непослідовність: коефіцієнти a, b, c ... у нього вважалися додатними, а випадок невідомого знака спеціально відзначався трьома крапками ліворуч.

Всі невід'ємні дійсні числа, не виключаючи ірраціональних, розглядаються Декартом як рівноправні; вони визначаються як відношення довжини деякого відрізка до еталону довжини. Пізніше аналогічне визначення числа взяли Ньютон і Ейлер. Декарт поки ще не відокремлює алгебру від геометрії, хоча і змінює їхні пріоритети; розв'язок рівняння він розуміє як побудову відрізка з довжиною, рівною кореню рівняння. Цей анахронізм був незабаром відкинутий його учнями, передусім — англійськими, для яких геометричні побудови — чисто допоміжний прийом.

Книга «Метод» відразу зробила Декарта визнаним авторитетом в математиці і оптиці. Примітно, що видана вона була французькою, а не латиною. Додаток «Геометрія» було, проте, тут же переведено на латинську і неодноразово видавався окремо, розростаючись від коментарів і ставши настільною книгою європейських учених. Праці математиків другої половини XVII століття відображають сильний вплив Декарта. Лист написаний рукою Декарта, грудень 1638р.

Прагни перемагати швидше самого себе, ніж долю, і змінювати своє бажання, ніж порядок у світі. Я мислю — отже існую. Правильно визначайте слова, і ви позбавите світ від половини непорозумінь. Всі науки настільки пов’язані між собою, що легше вивчати їх всі відразу, ніж якусь одну із них окремо від інших. Для того, щоб вдосконалити розум потрібно більше розмірковувати, ніж заучувати. Мало мати хороший розум, головне — правильно його використовувати.