Презентація "Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику"

Середні пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику. Геометрія, 8 клас

Математика привчає розум бути уважним до об’єктів, що розглядаються. Досягає вона цього, подаючи йому силу-силенну різноманітних істин, чарівних і очевидких, хоч і не зовсім явних. Істина – це те саме для розуму, що музика для вуха і краса для ока. Джон Арбатнотшотландський лікар, сатирик та ерудит(29.04.1667 — 27.02.1735)

Мета:формування предметних компетентностей: домогтися засвоєння ознаки подібності прямокутних трикутників; сформувати поняття середнього пропорційного відрізка; домогтися засвоєння метричних співвідношень у прямокутному трикутнику; сформувати вміння розв’язувати задачі на застосування цих співвідношень;формування ключових компетентностей: формувати вміння швидко сприймати інформацію, опановувати великий обсяг знань; сприяти самовихованню працьовитості, наполегливості, сумлінності.

Ознаки подібності прямокутних трикутників. Два прямокутні трикутники подібні, якщо гострий кут одного дорівнює гострому куту другого трикутника. Два прямокутні трикутники подібні, якщо катети одного пропорційні катетам другого трикутника. Два прямокутні трикутники подібні, катет і гіпотенуза одного пропорційні катету і гіпотенузі другого трикутника∠А= ∠А𝟏 a:b= 𝒂𝟏:𝒃𝟏 a:c= 𝒂𝟏:𝒄𝟏 

Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним відрізків, на які ця висота ділить гіпотенузу. Теорема. Оскільки висота h𝑐 розбиває прямокутний трикутник АВС на подібні йому трикутники ABD і CBD, то AD : h𝑐 = h𝑐 : CD. А це означає, що відрізок h𝑐 - середній пропорційний відрізків AD і CD. Отже, h𝑐2= AD · CD Доведення

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи і проекції цього катета на гіпотенузу. Теорема. Оскільки ∆ADB ~∆𝐴𝐵𝐶, то AD : AB = AB : AC, звідки 𝐴𝐵2= AC ∙ AD/ Доведення

Два прямокутні трикутники подібні, якщо катет і гіпотенуза одного пропорційні катету і гіпотенузі другого трикутника. Теорема. Спробуйте самостійно довести дану теорему. Доведення

Запитання і завдання для самоконтролю. Сформулюйте три ознаки подібності для довільних трикутників. Сформулюйте ознаки подібності прямокутних трикутників. Яку властивість має висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута7 Що називають середнім пропорційним двох відрізків?Сформулюйте та доведіть теореми про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику.

Виконайте усно. Назвіть висоти прямокутного трикутника АВС. Яка з них найменша? Чому?Назвіть проекцію катета АС на гіпотенузу АВ, на пряму СН, на пряму ВС. Знайдіть кути трикутника АВС, якщо: а) ∠АСН=30°; б) ∠НСВ=75°; в) ∠В=35°; г) ∠АСН=n°. Знайдіть ВС : СН, НА : АС, АС : АВ,якщо ∠А=60°

Розв’яжіть задачу. Довжина тіні сосни 14 м, а від двометрового клена 1 м. Знайдіть висоту сосни.

Розв’яжіть задачу. Задача Фалеса. Визначте відстань від берега до корабля в морі, знаючи висоту щогли. Розв’язання легко зрозуміти, скориставшись малюнком

Практичне завдання. Виріжте із картону прямокутний трикутник і визначте за його допомогою висоту обраного вами об’єкта (мал.1). Порівняйте цей спосіб із тим, що запропонував Жуль Верн у романі «Таємничий острів» (мал.2). У чому схожість, а в чому – відмінність?(мал.1)(мал.2)