Презентація ,,Способи розв'язання тригонометричних рівнянь"

Способи розв'язання тригонометричних рівнянь

ФОРМА:урок - презентація

МЕТА: Ознайомити учнів із загальною схемою розв'язування тригонометричних рівнянь різних типів;Формувати вміння розв'язувати тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних і однорідні рівняння.

Перший крок до успіху при розв’язування тригонометричних рівнянь – це вміння розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння.

Тригонометричними рівняннями називають рівняння, в яких змінна міститься під знаками тригонометричних функцій. До них,перш за все відносяться найпростіші тригонометричні рівняння, тобто рівняння виду sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a де a - дійсне число.

На даний момент ми знаємо, що: Якщо |a|≤1, то рішення рівняння cosx=a має вигляд x=±arccosa+2πn, nєZ;Якщо |a|≤1, то рішення рівняння sinx=a має вигляд x=(-1)n arcsina+πn, nєZ;або, що те ж саме, x1=arcsina+2πk, kєZ x2=π-arcsina+2пk, kєZ;Якщо |a|>1, то рівняння cosx=a, sinx=a не мають рішення;Рішення рівняння tgx=a для любого значення a мають вигляд x=arctga+πn, nєZ.

Особливо важливі окремі випадки :

Знайдіть помилку і назвіть правильну відповідь:

Знайдіть помилку і назвіть правильну відповідь:

Знайдіть помилку і назвіть правильну відповідь:

Знайдіть помилкуі назвіть правильну відповідь

Знайдіть помилку і назвіть правильну відповідь:

Способи розв’язання тригонометричних рівнянь. Разкладання на множники (винесення за дужку, формули скороченого множення та ін.)Рівняння, які зводяться до квадратних. Однорідні рівняння. Рівняння, які розв’язуються за допомогою введення допоміжного кута. Рівняння, які розв’язуються за допомогою тригонометричних формул (сумми і різниці, додавання, подвійного кута та ін.) пр.)

Рівняння, які зводяться до квадратних Например:a +b + c = 0a + b + c =0

a +b + c = 0 Наприклад:a +b +c=0 a +b + c = 0

Наприклад:a + b +c =0 |·tgx≠0a + b +c=0 a +с +b =0

Розв’язок: sinx =t |t|≤ 1, т.к. E(sinx)=[-1;1] at² +bt + c =0 cosx =t |t|≤1, т.к. E(cosx)=[-1;1]tgx =tt R,т.к. E(tgx)=R

Метод введення нової змінноїПриклад 1

Приклад 2

Розв’яжіть самостійно.

Розв’язок: Пусть sinx=t, -3 не задовольняє умові

Рівняння виду asinx+bcosx=0 називають однорідним тригонометричним рівнянням першого степеня. Рівняння виду asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 називаюь одноіодним тригонометричним рівнянням другого степеня. Однорідні рівняння

Дано рівняння asinx+bcosx=0, где a≠0, b≠0. Поділимо обидві частини рівняння почленно на cosx, отримаємо: Маємо найпростіше тригонометричне рівняння:

Приклади: №1. Розв’язати рівняння 2sinx-3cosx=0 Розв’язок: Поділимо обидві частини рівняння почленно на cosx ,отримаємо 2tgx-3=0; tgx=1,5; x=arctg1,5 + πn, n є Z; Відповідь: arctg1,5 + πn, n є Z.

Розв’яжіть самостійно рівняння: sin2x+cos2x=0

Розв’язок: Почленно поділимо обидві частини рівняння на cos2x≠0, отримаємо:

Розглянемо однорідне тригонометричне рівняння другого степеня asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0.

Алгоритм рішення однорідних тригонометричних рівнянь другого степеня. Подивитись, чи є в рівнянні член asin2x;Якщо цей член міститься, тобто а≠0, то рівняння розв’язується діленям обох його частин на cos2x і подальшим введенням нової змінної z=tgx;Якщо цей член не міститься, тобто а=0, то рівняння розв’язується методом розкладання на множники: за дужки виносять cosx;

Приклади: №1. Розв’язати рівняння sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0. Розв’язок: sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0 /÷cos2x≠0; tg2x-3tgx+2=0; Введемо нову змінну: z=tgx; z2-3z+2=0; z1 =1, z2 =2; tgx=1; x= π/4+ πn, n є Z; tgx=2; x=arctg2 + πk, k є Z; Відповідь: + πn, n є Z, arctg2 + πk, k є Z.

№2. Розв’язати рівняння √3sinxcosx+cos2x=0. Розв’язок:

Розв’язати самостійно:

Розв’язок: Відповідь:

Розв’язати рівняння

Серед запропонованих рівнянь виберіть рівняння, що зводяться до квадратних і однорідні рівняння :

однорідне тр. рівнянняквадратне тр. рівняння. Рівняння, що зводяться до кв.тр.рівнянь. Рівняння,що зводяться до однорідних тр. рівнянь невідомийтип тр. рівняння

ВІРНО!МОЛОДЦІ!Далі

Подумайте!Повернутися до завдання

однорідне тр. рівнянняквадратне тр. рівняння. Рівняння,що зводяться до кв.тр.рівняння. Рівняння, що зводяться до однорідного тр. рівнянняневідомий тип тр. рівняння

ВІРНО!МОЛОДЦІ!Далі

Подумайте!Повернутися до завдання

однорідне тр. рівнянняквадратне тр. рівняння. Рівняння,що зводяться до кв.тр.рівняння. Рівняння, що зводяться до однорідного тр. рівнянняневідомий тип тр. рівняння

ВІРНО!МОЛОДЦІ!Далі

Подумайте!Повернутися до завдання

однорідне тр. рівнянняквадратне тр. рівняння. Рівняння,що зводяться до кв.тр.рівняння. Рівняння, що зводяться до однорідного тр. рівнянняневідомий тип тр. рівняння

ВІРНО!МОЛОДЦІ!Далі

Подумайте!Повернутися до завдання

однорідне тр. рівнянняквадратне тр. рівняння. Рівняння,що зводяться до кв.тр.рівняння. Рівняння, що зводяться до однорідного тр. рівнянняневідомий тип тр. рівняння

ВІРНО!МОЛОДЦІ!Далі

Подумайте!Повернутися до завдання

однорідне тр. рівнянняквадратне тр. рівняння. Рівняння,що зводяться до кв.тр.рівняння. Рівняння, що зводяться до однорідного тр. рівнянняневідомий тип тр. рівняння

ВІРНО!МОЛОДЦІ!Далі

Подумайте!Повернутися до завдання

однорідне тр. рівнянняквадратне тр. рівняння. Рівняння,що зводяться до кв.тр.рівняння. Рівняння, що зводяться до однорідного тр. рівнянняневідомий тип тр. рівняння

ВІРНО!МОЛОДЦІ!Кінець

Подумайте!Вернуться к заданию

Дякую за увагу!Домашнє завдання: п.31 – вивчити; №31.2(1,3), №31.4(1,3,5), №31.8(2)