Презентація Тригонометричні функції

Величина кута в радіанах Величина кута в градусах Наприклад : ; Радіанний вимір кутів Одиницею радіанної міри кутів є радіан. Кут величиною 1 радіан – це кут із вершиною в центрі кола, що спирається на дугу кола, довжина якої дорівнює радіусу цього кола.

вісь синусів вісь косинусів вісь котангенсів вісь тангенсів Означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса. Синусом числа називають ординату точки , утвореної поворотом точки (1;0) навколо початку координат на кут радіан ( позначають sin ). Синус визначено для будь-якого числа . Косинусом числа називають абсцису точки ,утвореної поворотом точки (1;0) навколо початку координат на кут радіан ( позначають cos ). Косинус визначено для будь-якого числа . Тангенсом числа називають відношення синуса числа до його косинуса. Котангенсом числа називають відношення косинуса числа до його синуса.

Не існує Не існує Не існує Не існує Не існує

Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того самого аргументу. 6 5 4 3 2 1 Тотожні перетворення тригонометричних виразів

Формули половинного кута Формули пониження степеня Формули подвійного кута Формули додавання

Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму Формули перетворення суми тригонометричних функцій у добуток

Кут Функція Формули зведення

Функція y = sin x Найбільші значення Найменші значення Проміжки спадання Проміжки зростання Проміжки на яких у<0 Проміжки, на яких у>0 непарна [-1;1] R Якщо х=0 Нулі функції Періодич - ність, період Парність E(y) D(y) Тригонометричні і обернено тригонометричні функції та їх властивості

Найбільші значення Найменші значення Проміжки спадання Проміжки зростання Проміжки на яких у<0 Проміжки, на яких у>0 парна cos(-x)=cosx [-1;1] R Якщо х=0 Нулі функції Періодич - ність, період Парність E(y) D(y) Функція y = сos x

Немає Проміжки спадання Періодич - ність, період Немає Найменші значення Нулі функції Немає Найбільші значення Проміжки зростання Проміжки на яких у<0 Проміжки, на яких у>0 непарна tg(-x)=-tgx R Якщо х=0 Парність E(y) D(y) Функція y = tg x

Немає Немає Немає Найбільші значення Найменші Значення Проміжки спадання Проміжки зростання Проміжки на яких у<0 Проміжки, на яких у>0 Не визначено непарна ctg(-x)=-ctgx R Якщо х=0 Нулі функції Періодич - ність, період Парність E(y) D(y) Функція y = сtg x

Функція y = arsin x Означення та основні властивості обернених тригонометричних функцій Функція у=sin х зростає на проміжку і набуває всіх значень від -1 до 1, тобто кожного свого значення функція набуває в єдиній точці області визначення. Арксинусом числа називають таке число з проміжку , синус якого дорівнює . Основні властивості функції y=arcsinx: 1. 2. 3.Графік симетричний відносно початку координат (функція непарна) : arcsin (-x)=-arcsin x. 4. Функція зростаюча. Якщо то 5. y=0, якщо x=0. 6.

Функція y = arcos x Арккосінусом числа називають таке число з проміжку , косинус якого дорівнює . Основні властивості функції D(y)=[-1;1]. 2. 3. Графік не симетричний ані відносно початку координат, ані відносно осі OY: 4. Функція спадна. Якщо то 5. y=0, якщо x=1. 6. Функція y=cos x спадає на відрізку і набуває всіх значень від -1 до 1, тому рівняння на проміжку має єдиний корінь, який називають арккосинусом числа і позначають arccos .

Функція y = arctg x Функція y=tg x на проміжку зростає і набуває всіх значень із R, тому для будь-якого рівняння має єдиний корінь із проміжку який називають арктангенсом числа і позначають Арктангенсом числа називають таке число з проміжку тангенс якого дорівнює Основні властивості функції 1. D(y)=R. 2. 3. Графік симетричний відносно початку координат, функція непарна: 4. Функція зростаюча. Якщо 5. y=0,якщо x=0. 6. y>0,якщо x>0;y<0, якщо x<0.

Функція y = arcctg x Функція y=ctgx на інтервалі спадає і набуває всіх значень із R, тому для будь-якого числа в інтервалі існує єдиний корінь рівняння Це число називають арккотангенсом числа позначають Арккотангенсом числа називають таке число з інтервалу котангенс якого дорівнює Основні властивості функції y=arcctgx: 1. D(y)= R. 2. E(y)= 3. Графік не симетричний ані відносно початку координат, ані відносно осі OY: 4. Функція спадна. Якщо 5. x=0, якщо 6. y > 0 для всіх

Рівняння коренів немає бо Окремі випадки Розв`язування найпростіших тригонометричних рівнянь

Рівняння коренів немає ,бо Окремі випадки

Рівняння Окремі випадки

Методи розв`язування тригонометричних рівнянь Тригонометричні рівняння можна привести шляхом тотожних перетворень до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебраїчного. Розглянемо приклади : Приклад 1. Розв`яжіть рівняння Розв`язання Замінивши на маємо : Нехай х = t, тоді Звідси Оскільки то розв`язків немає. Оскільки то Відповідь :

Приклад 2. Розв`яжіть рівняння Розв`язання Нехай тоді і Маємо : 1) 2) Відповідь:

Зведення тригонометричних рівнянь до рівнянь виду Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв`язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники. Приклад 3. Розв`яжіть рівняння Розв`язання Урахувавши,що маємо : Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Тому: 1) 2) Відповідь:

Приклад 4. Розв`яжіть рівняння Розв`язання : 1) 2) Відповідь : і

Однорідні тригонометричні рівняння Рівняння виду asin x + bcos x = 0 (однорідне рівняння 1-го степеня), де a i b не дорівнюють нулю. Значення x, при яких cos x дорівнює нулю, не задоволюняє даному рівнянню, бо тоді й sin x також дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю. Тому Рівняння виду називається однорідним рівнянням 2-го степеня. Ділимо на Розв`язавши отримане рівняння, одержимо корені даного рівняння.

Приклад 5. Розв`яжіть рівняння Ділити обидві частини на не можна, бо є розв`язком даного рівняння. Це рівняння можна розв`язувати у такі способи. I спосіб (винесення множника) : Звідси або 1) 2) Відповідь :

ІІ спосіб. Розділимо обидві частини на оскільки у даному рівнянні, бо у протилежному випадку і cos x =0, що неможливо. Звідси ctg x = 0, або ctg x = 2. 1) 2) Відповідь:

не має розв`язків sin t > a не має розв`язків sin t < a a > 1 a < -1 не має розв`язків cos t > b не має розв`язків cos t< b b > 1 b < -1 Розв`язування найпростіших тригонометричних нерівностей

ctg < b ctg > b tg < a tg > a