Презентація " Вектори на площині"

Вектори на площиніПрезентація до вивчення теми7th Grade

Накреслимо відрізок 𝐴𝐵. Точка А – початок відрізка, а точка 𝐵 — кінець.  Напрям відрізка 𝐴𝐵 з точки 𝐴 в точку 𝐵 позначимо за допомогою стрілки. Отримаємо спрямований відрізок Напрямлений відрізок називається вектором.  Вектор можна позначити:двома великими буквами, поставивши над ними стрілочку; перша буква позначає початкову точку, друга — кінцеву точку; наприклад, 𝐴𝐵 (читається: вектор 𝐴𝐵); маленькою буквою зі стрілочкою над нею, наприклад, 𝑎 (читається: вектор 𝑎). Поняття вектора

Величини. Скалярні01 Скалярними називаються величини, що мають числове значення, але не мають напряму. Наприклад, кількість якихось предметів, довжина, щільність, час, маса. Векторні02 Величини, з якими зустрічаємося в природничих науках, бувають скалярними або векторними. Векторними величинами, або векторами, називаються величини, що мають і числове значення, і напрям. Приклади векторних величин: швидкість, сила, переміщення.

Модуль вектора. BAa. Модулем вектора AB або вектор а (абсолютною величиною) називають довжину відрізка, що зображує цей вектор.|АВ| = |a| довжина відрізка АВВектор КК або нуль- вектор|KK| = 0 K

Формула для обчислення довжини (модуля) вектора АВ Наприкад: А ( 5; -3), В (-7; 6)АВ=(−7−5)2 +(6+3)2= 144+81= 225=15  

Колінеарні вектори. Колінеарними називають два ненульових вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих.с. PKb. ABНульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. D

Два колінеарних вектори можуть бути спрямовані в одному напрямі або в протилежних напрямах.  У першому випадку колінеарні вектори називаються співнапрямленими, а в другому — протилежно напрямленими векторами. Співнапрямлені векториc ↑↑ KP AB ↑↑ b DD ↑↑ c. Протилежно направлені векториb ↑↓ K P AB ↑↓ cc↑↓ b KP ↑↓ AB

ABDCNKPMНазвати вектори. Завдання

Координати вектора. Впорядкована пара точок А і В визначає АВ. Нехай точки А і В мають координати: А (х1; у1 ), В (х2; у2). Числа a1 = х2 – х1 і a2 = у2– y1, називають координатами вектора а у даній системі координат. Кожна координата вектора дорівнює різниці відповідних координат його кінця та початку. Коротко записують:а (a1; a2) і читають: вектор а з координатами a1 і  a2;АВ (a1; a2) і читають: вектор АВ з координатами a1 і  a2;(а1; а2) і читають: вектор з координатами 𝑎1 і  𝑎2. 

Рівні вектори. Вектори рівні, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням. Рівні вектори однаково напрамлені і рівні за модулем (абсолютною величиною). Від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний даному, і тільки один.ab  𝑎=𝑏 𝑎= 𝑏𝑎↑↑𝑏 

Дії над векторами Правила додавання двох векторів: Правило трикутника: відкладемо від довільної точки A вектор АВ, рівний вектору а. Далі від точки В відкладемо вектор ВС, рівний вектору b. Вектор АС називають сумою векторів а і b, і записують: а + b = АС Векторна рівність Для будь-яких трьох точок A, B і C виконується рівність АВ + ВС = АС, яка виражає правило трикутника для додавання векторів

За правилом трикутника можна додавати й колінеарні вектори. Вектор АС дорівнює сумі колінеарних векторів а і b.

Правило паралелограма (для знаходження суми двох неколінеарних векторів, відкладених від однієї точки): Відкладемо від довільної точки А вектор АВ, рівний вектору а, і вектор АD, рівний вектору b. Побудуємо паралелограм АBCD. Тоді шукана сума а + b = АС.

Віднімання векторів. Різниця векторів а і b – вектор c, який в сумі з вектором b дає вектор а. с = а – b. Від довільної точки О відкладемо вектори ОА і ОВ, відповідно рівні векторам а і b. Тоді ВА = а – b.

Множення вектора на число. Добутком ненульового вектора а і числа k, при чому k≠0, називють такий вектор b, що: 1) 𝑏=𝑘×а2) якщо k > 0, 𝑏↑↑𝑎, якщо k < 0, то 𝑏↑↓𝑎Якщо а = 0 або k = 0, то вважають ka = 0. 

Скалярний добутокскалярний добуток векторів а( а1; а2) і b (b1; b2) дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів: a ∙ b = a1b1 + a2b2скалярним добутком двох ненульових векторів називають число, що дорівнює добутку їх довжин та косинуса кута між ними 𝑎  ∙𝑏=𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠∠𝑎,𝑏Властивості скалярного добутку векторів: Для будь – яких векторів a, b, c і будь-якого числа k виконують рівності:a ∙ b = b ∙ a – переставна властивість; (k ∙a) ∙ b = k(a ∙ b) – сполучна властивість (відносно скалярного множника); (a + b) c = a ∙  c + b ∙ c - розподільна властивість. Властивість і ознака перпендикулярних векторів: Якщо а ⊥ b, то а ∙ b=0 і, навпаки, якщо для ненульових векторів а і b, справедлива рівність a∙ b =0, то а ⊥ b.