Презентація "Вимірювання і тригонометрія"

Вимірювання і тригонометрія «Геометрія — це світ, що нас оточує». М. Ломоносов

Роботу виконав Тимченко Богдан Володимировичучень 11 класу Оленівської ЗОШ І-ІІІ ступенів Керівник Пархоменко Г. О. учитель математики

Мета дослідження: показати практичну спрямованість математики. Задачі дослідження: • виділити основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників; •дослідити застосування тригонометрії до розв’язування прикладних задач.

Об’єкт дослідження: тригонометричні формули та співвідношення між сторонами та кутами трикутника. Предмет дослідження: знаходження лінійних розмірів, які не можна виміряти безпосередньо.

Тригонометричні функції - основний інструмент тригонометріїsinα=a/c cosα=b/c tgα =a/b 𝛼 

Основні теореми тригонометрії

Задачі на обчислення елементів довільних трикутників 1. За стороною і прилеглими до неї кутами2. За двома сторонами і кутом між ними3. За двома сторонами і кутом, протилежнимодній із них4. За трьома сторонами.

Прикладні задачіПрикладна задача – це задача, що виникла зовні математики, але для її розв’язування потрібно використати математичні моделі.

Прилади для вимірювання на місцевостіТеодоліт

Задача. Знайдіть відстань до недоступного пункту. Обираємо на місцевості таку точку С, щоб з неї було видно пункт В і можна виміряти відстань АС. Вимірюємо АС=b ВАС=α, ВСА=γ В=1800-α-γ. За теоремою синусів: АВ=𝒃∙𝐬𝐢𝐧𝜸𝐬𝐢𝐧𝟏𝟖𝟎°−𝜶+𝜸=𝒃∙𝐬𝐢𝐧𝜸𝐬𝐢𝐧𝜶+𝜸. 

Знаходження ширини місцевого ставка. Для цього на одному березі визначив дві точки, рулеткою виміряв відстань між ними, потім з кожної точки на березі, приладом для вимірювання горизонтальних кутів, виміряв кути, з яких видно недоступну точку на другому березі ставка. Застосувавши теорему синусів та теорему про суму кутів трикутника, знайшов ширину ставка. Результати вимірювань такі: b=80 м, 𝛼=43о, 𝛾=29о. Тоді, АВ=80∙𝑠𝑖𝑛29𝑜sin⁡43𝑜+29𝑜=80∙𝑠𝑖𝑛29𝑜sin⁡72𝑜≈80∙0,4850,682≈56,9 (м).  

Знайти висоту вежі, яка відокремлена річкою. Розв’язування. На горизонтальній прямій, яка проходить через основу вежі, позначемо дві точки А1 і С1. Вимірюємо А1 С1=b, DAB=α, DCB=β. За теоремою синусів, з трикутника АВС дістанемо: АВ= АСsin𝛽sin. В. З прямокутного трикутника ABD: BD=ABsin𝛼 BD=𝑏sin𝛼sin𝛽sin𝛼−𝛽, BK=𝑏sin𝛼sin𝛽sin𝛼−𝛽+h, де h – висота приладу. 

Знаходження висоти водонапірної вежі, розташованій на території місцевого господарства. Неподалік від вежі, визначив дві точки, рулеткою виміряв між ними відстань і з кожної точки, приладом для вимірювання вертикальних кутів, виміряв кути, з яких видно вершину вежі. Застосувавши теорему синусів, співвідношення в прямокутному трикутнику, знайшов висоту вежі. Виміри такі: h= 1,7 (м),DC=10 (м), α=25°, β=20°𝑥=10sin25°sin20°sin25°−20°+1,7=10∙0,4226∙0,3420,0871+1,7≈18(м) 

Тригонометрія у геодезії, навігації, астрономії. Место для уравнения. 

Висновок. Теореми косинусів та синусів за допомогою яких розв’язуються трикутники, є основою для розв’язання прикладних задач. Прикладні задачі – це пізнання реальної дійсності, розвивають інтерес і допитливість, дозволяють краще реалізувати принцип нерозривності теорії і практики, підтверджують зв’язок математики з життям.