Презентація "Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца"

Тема: «Визначений інтеграл. Формула Ньютона – Лейбніца»Математика 11 клас (рівень стандарту)Краматорська ЗОШ І-ІІІ ступенів № 11 Учитель математики Ільченко О. А.

Плюс  мінус  життя. Таблиця  розмноження. Квадратний  корінь  із  мрій  романтика. Два  пишем,  три  помічаєм. Розношенащоденнапростаматематика. Душа  підіймається  до  вищої. Душа  обчислює  суму  площ:минуле  -  майбутнє  -  живі  і  знищені  -правда  -  поезія  -  атомний  дощ. Дракон  -  Атлант  -  телефон  -  калина  -віра  -  вірус  -  мільярди  -  нулі... Життя  оперує  безконечно  малими. Ми  всі  поодинці  -  також  малі. Але  з  усмішки,з  потиску  рук,з  брехні,  убитої  наповал,історія  -  найскладніша  з  наук  -обчислює  ЗОРЯНИЙ  ІНТЕГРАЛ.Із  найдрібніших  зоряних  крихт!Вища  математика  світу!З  СУМИ  БЕЗКОНЕЧНО  МАЛИХВИНИКАЄ  БЕЗКОНЕЧНО  ВЕЛИКЕ. ЗОРЯНИЙ ІНТЕГРАЛ (Уривки з поеми) Костенко Ліна

1) ∫5 dx = 2) ∫х dx = 3) ∫х3 dx = 4) ∫9х8 dx = 5) ∫х-7 dx = 6) ∫√х dx = 7) ∫sin х dx = 8) ∫cos x dx = 9) ∫1/sin2x dx = 10) ∫cos3x dx = 5х+Сх2/2+Сх4/4+ С х9 + С 1/-6 х6 + С 2х√х/3 + С -cos x + С sin х + С -ctg x + С 1/3sin3х + СОціни свої знання за 10-бальною шкалою. Повторимо вивчене на попередніх уроках

Інтеграл у давнину. Першим відомим методом для розрахунку інтегралів був метод вичерпування Евдокса ( приблизно 370 до н.е.), який намагався знайти площі та об'єми і для цього розривав їх на величезнукількість частин, для яких площа і об'єм вже відомі. Цей метод розвинув Архімед і використав його для розрахунку площ парабол і наближених обчислень площ частин круга.

Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур. Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед. Одного разу Архімед повернувся з риболовлі і вирішив визначити найбільш точно площу поверхні риби.

Архімед розбив поверхню риби на прямокутники і знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі.

Ми добре вміємо обчислювати площі прямокутника, трикутника, трапеції, паралелограма, довільного многокутника, а також площі круга та його частин. Виникає питання: як обчислити площу плоскої фігури, обмеженої будь-якою кривою? Виявляється, що розв'язування такої задачі можливе за певних умов, якщо плоска фігура, яку ми розглядаємо – КРИВОЛІНІЙНА ТРАПЕЦІЯ.

Означення: Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком неперервної функції y=f(x), яка не змінює знак на відрізку[a; b], прямими x=a, x=b і відрізком [a; b]. Криволінійна трапеція

Яка із наведених фігур є криволінійною трапецією?

Знайдемо площу криволінійної трапеції. 1). Для цього розіб'ємо відрізок [a; b] на n рівних частин точками а=x0,x1,x2…xn=b. 2). Позначимо ширину першого відрізка через ∆x1, другого - ∆x2 і т.д. 3). На кожному з одержаних відрізків виберемо довільну точку с1, с2….сn. Довжини прямокутників відповідно f(с1), f(с2) …. f(сn).4). Sn = S1+ S2+….. +Sn= =f(с1) ∆x1 +f(с2) ∆x2 +….+f(сn)∆xn

Визначений інтеграл. Суму Sn називають визначеним інтегралом функції у= f(x) від a до b і позначають (читають так: ”інтеграл від a до b еф від ікс де ікс”)а - нижня межа інтегрування;b - верхня межа інтегрування; - знак визначеного інтегралаf(x) - підінтегральна функція;f(x)dx - підінтегральний вираз;х - змінна інтегрування.

Формула Ньютона - Лейбніца Це і є формула Ньютона – Лейбніца, яка показує, що значення визначеного інтеграла на відрізку [a; b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції, коли x=b i х=a. Різницю F(b) - F(a) позначають . Тому попередню рівність можна записати так:

Обчислення площ плоских фігур. Отже, , якщо f(x) ≠0 для всіх x є [а;b], являє собою площу криволінійної трапеції обмеженої лініями: у = f(x), x = а, х = b, y = 0. Це – геометричний зміст інтегралу.

Межі інтегрування вказав Л. Ейлер. Символ інтеграла ввів Г. Лейбніц 1675р. Слово інтеграл придумав І. Бернулі.(від латинського слова Integro – відновлювати або від слова Integеr – цілий).

Розвиток інтегрального числення продовжили Л. Ейлер та П. Л. Чебишов (1821-1894рр.), який розробив способи інтегрування деяких класів ірраціональних функцій. Значний внесок у вивчення поняття інтеграла зробили українські математики М. В. Остроградський (1801-1862рр.), В. Я. Буняковський (1804-1889рр.), Д. О. Граве (1863-1939рр.), М. П. Кравчук (1892-1942рр.).

Параграф 11.1 (розглянь приклади задач 1,2,3), параграф 10 повтори;Розв'яжи №11.5, 11.7(1), 11.11(1)Готуємось до ЗНО: №7 зі стор.108 Домашнє завдання.

ДЯКУЮ ЗА УРОК, ДІТИ!