Презентація "Вписані і описані чотирикутники"

Вписані і описані чотирикутники. Все в природі повинно бути виміряно, все може бути пораховано. Микола Іванович Лобачевський

Повторимо теоретичний матеріал1. Яке коло називається описаним навколо трикутника?2. Яке коло називається вписаним в трикутник?3. Де лежать центри вписаного і описаного кіл?4. Чи можна описати коло навколо довільного трикутника (вписати коло в трикутник)?5. Сформулюйте властивість дотичних, проведених до кола з однієї точки.6. Який кут називається вписаним в коло?

який з цих чотирикутників є вписаним?Коло називають описаним навколо чотирикутника, якщо воно проходить через усі його вершини. C2 B2 A2 D2 C1 B1 D1 A1 A3 B3 C3 D3

який з цих чотирикутників є описаним?Коло називють вписаним у чотирикутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін. A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 A3 B3 C3 D3

Теорема 1.якщо чотирикутник є вписаним у коло, то Сума його протилежних кутів дорівнює 180 о Дано: ABCD – чотирикутник, вписаний в коло.  Довести: ∠А+∠С=180о,∠В+∠D=180о. Доведення: Нехай чотирикутник АВСD вписаний у коло.  ∠А є вписаним. Вписаний кут дорівнює половині дуги, на яку спирається.∠А=1/2∪BCD, ∠C=1/2∪DAB. Тоді ∠А+∠С=1/2(∪DСB+∪DАB)= 1/2∙360о=180о. Сума всіх кутів чотирикутника дорівнює 360 о. А сума кутів ∠А і ∠С дорівнює 180 о. Тоді ∠B+∠D=180о. Доведено. ABCD

Теорема2. Якщо в чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180о, то навколо нього можна описати коло. Наслідок 1. Навколо кожного прямокутника можна описати коло. Якщо паралелограм вписаний у коло, то він є прямокутником. Наслідок 2. Навколо кожної рівнобічної трапеції можна описати коло. Якщо трапеція вписана в коло, то вона рівнобічна.

Теорема 3. якщо чотирикутник є описаним навколо кола, то Суми його протилежних сторін рівні Дано: ABCD – чотирикутник, описаний навколо кола K, L, M, N – точки дотику Довести: АВ+СD=ВС+АD. Доведення: За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки маємо АK=АN, ВK=ВL, CL=CM, DM=DN. Сторону АВ запишемо так АВ=АK+ ВK. Тоді сторону СD можемо записати: СD=CM+DM. Суму цих сторін: АВ+СD= АK+ ВK+ CM+DM== АN+ВL+CL+DN=BC+AD. Доведено. ABCD{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}К{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}L{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}M{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}N

Теорема4. Якщо в опуклому чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, То в нього можна вписати коло. Наслідок 3. У будь-який ромб можна вписати коло. Якщо в паралелограм вписано коло, то він є ромбом. ADCB  

Розв’язування задач. Знайдіть невідомі кути: а) вписаного чотирикутника, якщо два його кути дорівнюють 46о і 125о; б) вписаної трапеції, якщо один з її кутів дорівнює 80о. ABCD

Підсумки уроку. Який чотирикутник називається вписаним в коло? Описаним навколо кола?Сформулюйте теорему про властивість кутів вписаного чотирикутника. Сформулюйте теорему про властивість сторін описаного чотирикутника. Сформулюйте ознаку вписаного чотирикутника (описаного чотирикутника).

Домашнє завдання. Вивчити §1 пункт 10. Розв’язати № 343, 348, 236, 247.

Дякую за увагу!