Презентація з алгебри для 10 класу "Тригонометричні нерівності"

Тригонометричні нерівностіЗОШ №6, Савенко Л. О.

Тригонометричні нерівності Розв'язування будь-яких тригонометричних нерівностей,як правило зводимо до розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей:𝐬𝐢𝐧𝒙>𝒂,𝐬𝐢𝐧𝒙<𝒂,𝐜𝐨𝐬𝒙>𝒂,𝐜𝐨𝐬𝒙<𝒂,𝒕𝒈𝒙<𝒂,𝒕𝒈𝒙>𝒂,𝒄𝒕𝒈𝒙>𝒂,𝒄𝒕𝒈𝒙<𝒂. Оскільки найменший додатний період функцій 𝑦=sin𝑥, 𝑦=cos𝑥−2π, то для того, щоб розв’язати нерівність, яка містить тільки 𝐬𝐢𝐧𝒙 або тільки 𝐜𝐨𝐬𝒙,достатньо розглянути її на будь-якому відрізку довжиною 2π. Множину розв’язків дістанемо, додаючи до кожного зі знайдених на цьому відрізку розв’язків числа виду 2πn ,де 𝑛∈𝑍. Для нерівностей,які містять тільки 𝐭𝒈𝒙 і ctgx, розв'язки знаходимо лише на проміжку довжиною 𝜋(найменший додатній період функцій t𝑔𝑥 і ctgx -- 𝜋 ) а множину всіх розв'язків дістанемо,якщо додамо до кожного зі знайдених на цьому проміжку розв'язків числа виду 𝜋n ,де 𝑛∈𝑍. 

Приклад1. Розв'яжіть нерівність:   sin𝒙≥𝟏𝟐 Розв'язання.І спосіб. Побудуємо графіки функцій y=sin𝒙 і 𝒚=𝟏𝟐  у. Х-11

ІІ спосіб. Розв'язування тригонометричних нерівностей за допомогою одиничного колаху. Вісь синуса співпадає з віссю ординат. Відповідь

Алгоритм розв’язування нерівностей sin𝑥<𝑎,sin𝑥>𝑎 ,𝑎<1 {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}1. На осі Оу (лінія синусів) позначити число а2. Провести пряму у=а3. Позначити точки перетину прямої у=а з одиничним колом 𝑃𝛼1 і 𝑃𝛼24. 𝑃𝛼1 - початок дуги, 𝑃𝛼2- кінець дуги5. sin𝑥>𝑎  5. sin𝑥<𝑎  Вибрати дугу кола,розташовану вище від прямої у=а𝛼1=arcsin𝑎,      𝛼2=𝜋−𝛼1=π−arcsin𝑎Вибрати дугу кола,розташовану нижче від прямої у=а𝛼2=arcsin𝑎,      𝛼1=−𝜋−𝛼2=−π−arcsin𝑎 6. Оскільки  𝛼1< 𝛼2 ,тоarcsin𝑎<𝑥<𝜋−arcsin𝑎−π−arcsin𝑎<𝑥

Приклад2. Розв'яжіть нерівність:sin𝑥 ≤−22 Розв'язання  ху. Відповідь:

Приклад з. Розв'яжіть нерівність: sin𝑥≤32 Розв'язання  ху. Відповідь:

Алгоритм розв’язування нерівностей cos𝑥<𝑎,cos𝑥>𝑎 ,𝑎<1 {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}1. На осі Ох (лінія косинусів)позначити число а2. Провести пряму х=а 3. Позначити точки перетину прямої х=а з одиничним колом 𝑃𝛼1 і 𝑃𝛼24. 𝑃𝛼1 - початок дуги, 𝑃𝛼2- кінець дуги5.cos𝑥<𝑎, 5.    cos𝑥 >𝑎Вибрати дугу кола,розташовану праворуч від прямої х=а. Вибрати дугу кола,розташовану ліворуч від прямої х=а𝛼1=𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑎,   𝛼2=2𝜋−𝛼1=2𝜋−𝑎𝑟𝑐cos𝑎 6. Оскільки  𝛼1< 𝛼2 ,то−arccos𝑎<𝑥

Розвۥяжіть нерівність;       cos𝑥≥12 Розв'язання cos x - абсциса точки одиничного кола,що відповідає куту х ху. Відповідь:

ху. Графічно

Розв'яжіть нерівність : cos𝑥<22 Розв'язання. ху. Відповідь:

У загальному випадку{85 BE263 C-DBD7-4 A20-BB59-AAB30 ACAA65 A}Вид нерівностіМножина розв'язків ,