Презентація "Застосування похідної"

Розв’язування задач. Застосування похідної до розв’язування задач

Укажіть в яких прикладах допущені помилки. Витравіть їх

На рисунку зображено графік функції 𝑓(𝑥) і дотична до нього в точці з абсцисою 𝑥0 . Знайти значення похідної функції 𝑓(𝑥) в точці 𝑥0 𝜶 ABC

Скільки критичних точок має функція 𝑓(𝑥) зображена на рисунку 𝒇(𝒙) Вказати проміжки в яких похідна функції додатна, а в яких від'ємна.

Знайти проміжки зростання, спадання функції та точки екстремуму 𝑓𝑥=𝑥2+52−𝑥 

Вказати проміжки спадання функції 𝑓𝑥 на відрізку [a;b], якщо на рисунку зображено графік похідної 𝑓′𝑥 𝒇′(𝒙) 

Вказати проміжки зростання функції 𝑓𝑥 на відрізку [a;b], якщо на рисунку зображено графік похідної 𝑓′𝑥 𝒇′(𝒙) 

Скільки точок екстремуму має функція 𝑓′(𝑥)? 𝒇′(𝒙) 

Дослідити функцію та побудувати її графік𝑦=4𝑥3−3𝑥2  Знайти найбільше та найменше значення функції 𝑓𝑥=2𝑥3−9𝑥2+3 на проміжку [1;4] 

 Вчені, які внесли вклад в розвиток диференціального числення. Похідна. Задача про миттєву швидкість Відкрили теорію про диференціальне числення Задача про побудову дотичної до кривої1797 р увів термін «похідна» та сучасне позначення похідноїІсаак Ньютон (1643 – 1727) Гольфрід Лейбніц (1646 – 1716) Жозеф Луї Лагранж (1736 – 1813)

Задача цариці Дідони. Парканом довжиною 80 м потрібно огородити прямокутну ділянку найбільшої площі. Знайдіть розміри ділянки.

Задача геометричного змісту. Яким слід зробити нахил мосту, щоб перехід з мосту на схил був плавним, при довжині мосту 20 м і стріли підвісу 0,5 м. Міст має форму параболи, 𝑙=20 м, f = 0,5 м  (−10;0,5) (10;0,5) 𝑦=𝑎𝑥2 𝑎=𝑦𝑥2=0,5100=0,005 𝑦=0,005𝑥2 𝑡𝑔𝛼=𝑦′(𝑥0) 𝑦′=0,005∙2𝑥=0,001𝑥 𝑦′10=0,01∙10=0,1 𝑡𝑔𝛼=0,1 𝛼=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0,1=5°43′ 

Фізичний зміст похідної Задача 1. При виверженні вулкану камені гірської породи викидаються перпендикулярно вгору з початковою швидкістю 120 м/с. Якої найбільшої висоти досягне каміння?Задача 2. Автомобіль наближається до мосту зі швидкістю 72 км/год. Біля моста стоїть дорожній знак 36 км/год. За 7 с до виїзда на міст водій нажав на гальма. Чи з дозволеною швидкістю автомобіль виїхав на міст, якщо шлях зупинки визначається формулою 𝑆𝑡=20𝑡−𝑡2 

Задача біології У живильне середовище вносять популяцію з 1000 бактерій. Чисельність популяції зростає за законом 𝑝𝑡=1000+1000𝑡100+𝑡2; t – виражається в годинах. Знайти через який час настане максимальний розмір цієї популяції. 𝑝𝑡=1000+1000𝑡100+𝑡2 - функція 𝑝′𝑡=1000′+1000𝑡100+𝑡2′=1000𝑡′100+𝑡2−100+𝑡2′1000𝑡100+𝑡22;𝑝′𝑡=1000100+𝑡2−2𝑡∙1000𝑡100+𝑡22=100000+1000𝑡2−2000𝑡2100+𝑡22;100000−1000𝑡2100+𝑡22=0𝑡2=100  𝑡=10 – критична точка;  10+ –max

Задачі економіки. Задача 1. Розрахувати зміни продуктивності праці на початку робочого дня та за годину до її закінчення, якщо обсяг виготовлення продукції залежить від часу і описується рівнянням 𝑦=−13𝑡3+3𝑡2+80𝑡+50, 1≤𝑡≤8 – робочий день у годинах.  

Задача 2. На підприємстві виготовляють продукцію одного виду. Витрати на виробництво одиниць продукції вражаються функцією 𝑉𝑥=𝑥3−30𝑥2−160𝑥+900 , а дохід, отриманий від реалізації 𝐷𝑥=80𝑥−6𝑥2 (у грн.). Визначте скільки продукції треба виготовити, щоб дохід був максимальний. 𝑃𝑥−прибуток,  𝑃𝑥=𝑉𝑥−𝐷𝑥=−𝑥3+24𝑥2+240𝑥−900 Функції розглядаємо на проміжку (0;+∞)𝑃′(𝑥)=−3𝑥2+24∙2𝑥+240=−3𝑥2+48𝑥+240−3𝑥2+48𝑥+240=0𝑥1=20, 𝑥2=−4𝑃𝑥=−203+24∙𝑥2+240∙20−900=5500 максимальний прибуток 20+ –max0

Використання похідної в задачач з медицини. Задача 1. Концентрація ліків у хворого через деякий час після ін'єкції задається формулою С𝑡=16𝑡(10𝑡+20)2. Знайти максимальну концентрацію і час, коли вона дотягнеться.  

Задача 2. Розчинення лікарської речовини з таблетки описують рівнянням 𝑚=𝑚0𝑒−𝑘𝑡, де 𝑚0 – початкова маса на момент часу 𝑡=0; 𝑚 – нерозчинена маса на момент часу 𝑡; 𝑘 – стала розчинення при заданих зовнішніх умовах. Визначте швидкість розчинення даної речовини за 30 хв, якщо 𝑚0=25 г, 𝑘=0,02𝑐−1. Задача 3. Ємність легенів людини, вік якої не менше 10 років, наближено виражається формулою 𝑡𝑥=110ln𝑥−2𝑥, де 𝑥 – вік людини в роках, 𝑡𝑥– ємність легенів в літрах. Встановити, в якому віці ємність легенів найбільша і чому дорівнює.  

На рисунку зображено графік функції 𝑓(𝑥) і дотична до нього в точці з абсцисою 𝑥0 . Знайти значення похідної функції 𝑓(𝑥) в точці 𝑥0 

На рисунку зображено графік функції 𝑓𝑥. На осі абсцис відмічено десять точок. Знайти всі точки, в яких похідна функції 𝑓𝑥 від’ємна. 

На рисунку зображено графік похідної функції 𝒇𝒙.    f’(x)1. Скільки критичних точок має функція? 2. Скільки проміжків зростання має функція? 3. Скільки точок екстремуму має функція?4. Укажіть кількість точок максимуму.5. Укажіть кількість точок, де дотична паралельна прямій y=2x+5

Провести дослідження та побудувати графік функції Варіант 1 𝑦=3𝑥4−6𝑥2; Варіант 2 𝑦=𝑥2−𝑥3; Варіант 3𝑦=13𝑥3−4𝑥. 

ДЗНа сторінці книги друкований текст повинен займати 432 . Поля зверху і знизу повинні бути по 2см, а справа і зліва по 1,5см. Обчислити економічні розміри паперу.