Призма, види призм. Паралелепіпеди

Про матеріал
Лекційне заняття на тему "Призма, види призм. Паралелепіпеди" можна використовувати на уроках геометрії в 11 класах.
Перегляд файлу

Лекція: Призма, види призм. Паралелепіпеди

 

План

  1. Поняття призми.  Види призм.
  2. Площі бічної та повної поверхонь призми.
  3. Поняття перерізу многогранника. Перерізи призми.
  4. Паралелепіпед та його види. Властивості паралелепіпеда. Прямокутний паралелепіпед.
  5. Площі бічної та повної поверхонь прямокутного паралелепіпеда та куба.

Література

  1.     Геометрія: 11 кл.: підруч. для загальноосвіт. навч. закл.: академ. рівень, проф. рівень / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владімірова, В.М. Владіміров. [Електронний ресурс]  – К.: Генеза, 2011. – с. 136 –151.
  2.     Математика. Комплексна підготовка до ЗНО і ДПА / Уклад. А.М. Капіносов [та ін.]. – Тернопіль: Підручники і посібники 2017. –     с. 418-428.

 

1. Поняття призми. Види призми

Одним  з  найпростіших  многогранників є призма.

Призмою називають многогранник, у якого дві грані між собою рівні і лежать у паралельних площинах (їх називають основами призми), а всі інші грані – паралелограми ( їх називають бічними гранями призми).

Мал. 1 – Призма

На мал. 1 зображено призму, основами якої є чотирикутники ABCD і  A1B1C1D1.  Призму  прийнято  називати  за  назвою  її  основ,  наприклад, на  мал. 1  зображено  призму ABCDA1B1C1D1.  Сторони  бічних  граней призми, які не належать основам, називають бічними ребрами призми.

На  мал. 1  паралелограми AA1D1D, ABB1A1, BB1C1C і CC1D1D – бічні  грані  призми;  AA1,  BB1,  CC1 і DD1 – бічні ребра призми. Зрозуміло, що всі бічні ребра призми паралельні і рівні між собою.

Призму називають п-кутною, якщо її основою є п-кутник. (На мал. 1 зображено чотирикутну призму).

Перпендикуляр, проведений з деякої точки однієї основи  до  площини  іншої  основи,  називають  висотою призми. (На мал. 1 відрізок C1K – висота призми).

Відрізок, що сполучає дві вершини призми, які не лежать в одній грані, називають діагоналлю призми. (На мал. 1 відрізок C1A – діагональ призми).

Призму називають прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні  до  її  основ,  в  іншому  випадку  призму називають похилою.

Мал. 2 – Пряма трикутна призма

Мал. 3 – Правильна чотирикутна призма

На мал. 1 зображено похилу чотирикутну призму, а на мал. 2 – пряму трикутну призму. Зрозуміло, що бічні грані прямої призми – прямокутники, а висота прямої призми дорівнює її бічному ребру.

Пряму призму називають правильною, якщо її основою є правильний многокутник. На мал. 3 зображено правильну чотирикутну призму. У правильній призмі всі бічні грані – рівні прямокутники.

 

  1. Площі бічної та повної поверхонь призми

Площею  повної  поверхні  призми  називають  суму площ усіх її граней, а площею бічної поверхні призми – суму площ її бічних граней.

Площу повної поверхні призми Sповн можна записати через площі її бічної поверхні Sбіч і її основи Sосн формулою:

Sповн = Sбіч + 2Sосн.

Т е о р е м а   (про  площу  бічної  поверхні  прямої  призми): Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи P на висоту призми, тобто на довжину її бічного ребра l:

Sбіч = Pl.

 

  1. Поняття перерізу многогранника. Перерізи призми

Умови багатьох геометричних задач використовують  поняття  перерізу

многогранника.  Тож  для  розв’язування таких задач треба навчитися будувати переріз многогранника  площиною. 

Січною  площиною  многогранника  називають будь-яку площину, по обидва боки якої є точки даного многогранника. Січна площина перетинає грані многогранника по відрізках. Многокутник, сторонами якого є ці відрізки, називають перерізом многогранника.

Мал. 4 – Переріз многогранника

Наприклад, на мал. 4 чотирикутник KLMN є перерізом трикутної піраміди QABC.

Січна  площина може  бути  задана  одним  із  відомих способів:  трьома  точками,  що не  лежать  на  одній  прямій,  або  прямою і точкою, що їй не належить, або двома прямими, що перетинаються.

Перерізи призми

Переріз  призми,  який  проходить через  два  бічних  ребра,  що  не  лежать в одній грані, називають діагональним перерізом призми.

Мал. 5 – Діагональний переріз прямої призми

На мал. 5  чотирикутник АА1C1C – діагональний переріз прямої призми АВСDА1В1C1D1. Цей переріз є прямокутником, одна зі сторін якого – діагональ основи АC, а інша – бічне ребро АА1. У похилій призмі діагональним перерізом є паралелограм.

Розглянемо переріз похилої призми площиною, яка проходить  через  точку  M  бічного  ребра  AA1  перпендикулярно  до цього  ребра  та  перетинає  кожне  з  інших  бічних  ребер  цієї призми (Мал. 6).

Мал. 6 – Перпендикулярний переріз призми

Зрозуміло, що площина перерізу буде перпендикулярною до всіх інших бічних ребер призми. Такий переріз називають перпендикулярним перерізом призми. На мал. 6  чотирикутник  MNLK  – перпендикулярний переріз.

Перпендикулярний  переріз  прийнято  розглядати  лише  в  похилій  призмі, оскільки, очевидно, що у прямій призмі він дорівнює многокутнику, що є основою призми.

 

  1.              Паралелепіпед та його види. Властивості паралелепіпеда. Прямокутний паралелепіпед

У шкільному курсі математики ти познайомився з прямокутним паралелепіпедом і кубом. Обидва ці тіла є видами паралелепіпеда. Розглянемо паралелепіпед детальніше.

Паралелепіпед - це призма, основою якої є паралелограм.

У паралелепіпеда всі грані – паралелограми.

Оскільки  паралелепіпед  є  призмою,  то  всі  властивості призми справджуються і для паралелепіпеда.

Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи, називають прямим паралелепіпедом. Його бічні грані – прямокутники. На мал.7 зображено прямий паралелепіпед.

Мал. 7 – Прямий паралелепіпед

Мал. 8 – Похилий паралелепіпед

 Якщо  бічні  ребра  паралелепіпеда  не  перпендикулярні  до площини основи, його називають похилим паралелепіпедом. На мал. 8 зображено похилий паралелепіпед.

Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називають  протилежними  гранями.  На  мал. 8  протилежними є грані ABCD і A1B1C1D1, ABB1A1 і CDD1C1, AA1D1D і BB1C1C.
Розглянемо властивості паралелепіпеда:

Теорема (Властивість протилежних граней паралелепіпеда): протилежні  грані  паралелепіпеда  паралельні і рівні.

Теорема (Властивість діагоналей паралелепіпеда): діагоналі паралелепіпеда перетинаються і точкою перетину діляться навпіл (мал. 9).

Мал. 9

Прямокутним паралелепіпедом називають  прямий  паралелепіпед,

основою якого є прямокутник.

Зауважимо,  що  всі  грані  прямокутного  паралелепіпеда  є прямокутниками, а всі двогранні кути – прямими.

Довжини  трьох  ребер  прямокутного  паралелепіпеда,  які виходять з однієї вершини, називають вимірами (або лінійними вимірами) прямокутного паралелепіпеда.

На мал. 10 AB = a, AD = b, AA1 = c – виміри прямокутного  паралелепіпеда. Зрозуміло, що даний прямокутний паралелепіпед має чотири ребра завдовжки a, чотири – завдовжки b і чотири – завдовжки c.

Мал. 10 – Прямокутний паралелепіпед

Виміри  прямокутного паралелепіпеда зазвичай називають  довжиною,  шириною  і  висотою, ці  самі  терміни  використовують  і  на практиці. Наприклад, так ми називаємо виміри кімнати, коробки, що має форму прямокутного паралелепіпеда, тощо.

Теорема (Про  довжину  діагоналі  прямокутного паралелепіпеда):  Квадрат  діагоналі  прямокутного  паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів:

d2=a2+b2+c2.

Наслідок: Усі  чотири  діагоналі  прямокутного  паралелепіпеда рівні.

Прямокутний паралелепіпед, усі три виміри якого рівні, називають кубом. Усі грані куба – рівні між собою квадрати.

 

  1.              Площі бічної та повної поверхонь прямокутного паралелепіпеда та куба

Прямокутний паралелепіпед

Бічна поверхня:

Повна поверхня:

Куб

Бічна поверхня:

Повна поверхня:

 

Домашнє завдання

  1. Написати конспект та вивчити теоретичний матеріал.
  2. Навести приклади предметів із повсякденного життя, які мають форму прямої та похилої призми, прямокутного паралелепіпеда та куба.

1

 

docx
Додано
16 червня 2023
Переглядів
1459
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку