Прогресія (інтегрований урок з алгебри та біології)

Рокитнянський комунальний заклад середньої освіти №4

Методична розробка інтегрованого уроку на тему «Прогресія»

Алгебра 9 клас

     Автор: Поліщук Анатолій Михайлович

    Вчитель математики Рокитнянського КЗЗСО №4

     2019 рік

Тема: Прогресія (інтегрований урок з алгебри та біології)

Мета уроку: узагальнити та розширити знання учнів про прогресії, показати їх застосування у математиці., фізиці, техніці, біології, розвивати творчі здібності, прививати любов до  математики, формувати пізнавальну, соціальну та комунікативну компетенції.

Тип уроку: урок-презентація

     Хід уроку

1. Вступне слово вчителя математики

 Сьогодні ми проводимо заключний урок по темі «Прогресії» і вирішили провести його у незвичайній формі. Ми пропонуємо всім присутнім велику мандрівку «Подорож країною арифметичної та геометричної прогресій»

2. Ми живемо в третьому тисячолітті, але досягнення в науці і техніці дають нам можливість помандрувати в далеке минуле. Тож давайте зазирнемо   до відомої на весь світ Олександрійської бібліотеки і дізнаємось, що зберігають для нас глиняні клинописні таблички та єгипетські папіруси.

Надаємо слово для презентації команді «математиків», які принесли нам нові відомості з історії виникнення поняття прогресія.

Виступ №1

Термін «прогресія» вперше зустрічається в працях римського вченого Боеція(5 століття). Слово «прогресія» має латинське походження і означає «рух вперед». Спочатку під прогресією розуміли деякі числові послідовності, побудовані по певним законам. Наприклад послідовності натуральних чисел, їхніх квадратів та кубів.

Перші відомості про прогресії зустрічаються ще у вавилонських клинописах, глиняних табличках та в єгипетських папірусах у II тис до н.е.

Спостерігаючи за фазами затемнення місяця вчені з Вавилону встановили, що перші 5 днів після повнолуння, зростання освітленості місячного диску відбувається за законами геометричної прогресії із знаменником «2». Давньогрецькі математики розглядали прогресії як продовження вчення про пропорції, звідси пішли і назви арифметична та геометрична прогресії (перенесені із пропорцій).

В праці «Начала» Евкліда є теорема, яка еквівалентна відомій нам формулі суми n-членів скінченної геометричної прогресії. В праці «Квадратура параболи» Архімед вивів формулу для обчислення суми нескінченної спадної геометричної прогресії, а розв`язуючи задачі із геометрії та механіки вивів формулу для обчислення суми квадратів натуральних чисел. Деякі формули, які відносяться до прогресії були відомі також китайським та індійським вченим. Так Аріабхатта(Vст.) знав формули для знаходження загального члена та суми арифметичної прогресії в 13ст. відомий італійський математик Леонард Пізанський(Фібоначчі) сформулював правило для знаходження  суми членів довільної арифметичної прогресії. Формули для обчислень сум прогресій були відомі також П’єру Ферма та іншим математикам 17ст.

Виступ №2

Відомий цікавий випадок із життя видатного німецького математика Карла Гаусса. Коли Гауссу було 9 років, учитель зайнятий оформленням документації задав учням слідуюче завдання: «Підрахувати суму всіх натуральний чисел від 1 до 40 включно». Яким же було здивування вчителя, коли один із учнів( а це був Гаусс) через хвилину вигукнув: «Я уже підрахував!». Більшість учнів після довгих підрахунків отримали неправильні результати і списали майже сторінку зошита, а в зошиті Гаусса було записане лише одне число, але воно було правильним. Гаусс мислив так:

 1,  2,  3,… 20

 +

40, 39, 38,… 21

41;  41; 41; 41.

Сума чисел в кожній парі дорівнює 41, а пар таких – 20. Отже 41*20 = 820.

Перевіримо одержаний результат за відомою нам формулою: 

= 1

= 40

n = 40

= 41 * 20 = 820.

Отже Гаусc сам встановив формулу обчислення суми арифметичної прогреcії у 9 років, застосувавши прийом нестандартного мислення. Надалі слово «прогресія» стало синонімом слова «ряд». На даний час прогресії розглядають як часткові випадки числових послідовностей. Не треба вважати, що в науці про прогресії поставлено крапку. Майже 2000 років вчені всього світу намагаються знайти формулу загального члена для послідовності простих чисел:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19…

Але це завдання ще й  досі не розв`язане, хоч за його вирішення встановлена значна винагорода.

Оригінальний метод знаходження сум багатьох числових послідовностей розробив український математик В.Я. Буняковський, який народився у місті Бар на Вінничині.

*Kоментар вчителя метематики*

У знайдених під час розкопок папірусах, яким налічується більше 2000 років виявлено задачі на прогресії, а також цікаві легенди. Давайте послухаємо ці легенди

Надаємо слово для презентації команді «дослідників-істориків». Вони познайомлять нас із числами-велетнями, які з`являються при знаходженні значень суми членів геометричної прогресії. (Див. додаток )

Коментар вчителя математики:

Перш ніж покінчити з цією історією, покажу, яким способом можна прискорити підрахунок збитків мільйонера, інакше кажучи – як найшвидше виконати додавання ряду чисел:

1+2+4+8+16+32+64 і тд

Неважко помітити таку особливість цих чисел:

1=1

2=1+1

4=(1+2)+1

8=(1+2+4)+1

16=(1+2+4+8)+1

32=(1+2+4+8+16)+1

Ми бачимо, що кожне число цього ряду дорівнюе усім попереднім разом узятим, плюс один. Тому, коли треба додати усі числа такого ряду, наприклад від 1 до 32768, то ми додаємо до останнього числа (32768) суму всіх попередніх, інакше кажучи – додаємо те сааме число без одиниці ( 32768-1). Одержуємо 65535.

Цим способом можна підрахувати збитки жадібного мільйонера дуже швидко, як тільки узнаємо, скільки заплатив він в останнє. Його остання виплата становила 5368709крб. 12 коп.

Тому, додавши 5368709 крб. 12 коп. до 5368709 крб. 12 коп., одержуємо шуканий результат:

10737418 крб. 23 коп.

*Коментар учителя математики*

Багатьом здається що математика це така наука, яка не має жодного зв`язку з природою та тваринним світом. Насправді природа також живе за математичними законами. Прогресії також знаходять  своє місце в живому світі. Надаємо слово вчителю біології.

Вчитель біології

Незнання властивостей прогресій привело ряд країн світу на межу економічний криз, адже виявляється, що весь тваринний і рослинний світ також підкоряються законам прогресій і якщо немає обмежуючого фактору, то розмноження відбувається надзвичайно швидко і досягає величезної кількості особин. Відомо, що в США не було горобців, тому їх туди завезли, щоб вони винищували шкідливих комах. Горобцям в Америці сподобалося, адже тут не  знайшлося хижаків, які б їх знищували. Почало відбуватися дуже швидке розмноження цих птахів, а через нестачу комах, вони почали знищувати посіви. Довелося вступити в боротьбу з горобцями. Це коштувало американцям так дорого, що вони видали закон, який забороняє завозити до Америки будь яких тварин.

Аналогічне явище відбулося і в Австралії.  Як відомо, там не водилося кролів. У 18ст. англійці їх туди завезли, але в Австралії не було хижаків, які б могли обмежити приріст кролів і розмноження почало відбуватися за законами геометричної прогресії. Незабаром полчища кролів заполонили всю Австралію, завдаючи величезної шкоди сільському господарству. Країні довелося витратити величезні кошти, щоб позбавитись цього лиха. Аналогічний випадок стався і з кролями і в Каліфорнії.

Ще одна повчальна історія відбулася на острові Ямайка. Там водилася велика кількість отруйних змій. Вирішили завезти на острові птаха-секретаря. Відомо, що цей вид птахів винищує змій. Спочатку справи ніби то пішли на лад – змій поменшало, але за те дуже швидко розплодилися польові щурі, яких раніше поїдали змії. Щури завдали такої шкоди полям цукрової тростини, що довелося подумати, як їх винищити. Для цього на острів завезли 4 пари індійських мангустів і дали їм можливість безконтрольно розмножитись, але кількість мангуст так швидко зросла до величезних популяцій і крім щурів почала знищувати свійську птицю, плодові сади, хлібні плантації, поля. Жителі острова кинулися винищувати своїх недавніх спільників, але їм вдалося лише до деякої міри обмежити шкоду, якої завдали мангусти.

Отже ці цікаві приклади говорять про те, що незнання математичних законів та біології може привести людство до надзвичайних екологічних катастроф.

*Коментар вчителя математики*

Виявляється, що закони геометричної прогресії лежать в основі всього живого світу землі, а значить і народження людини також пов`язане із законами геометричної прогресії.

Справді, в основі розмноження будь-якого живого організму на землі лежить принцип рівнозначного поділу вихідної материнської клітини на дві дочірні клітини, які в свою чергу також діляться навпіл, і цей процес продовжується до безкінечності, допоки не завершиться остаточне формування організму нової особини.

Отримуємо такий ряд чисел:

1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; … і т.д.

А це є не що інше, як зростаюча геометрична прогресія із знаменником «2».

Розглянемо таку задачу: Хвороботворна бактерія потрапивши в організм людини за 20 хв. ділиться навпіл. Новоутворені дві бактерії знову діляться навпіл через наступні 20 хв. І т.д. Скільки хвороботворних бактерій утвориться в організмі людини за 5 годин?

Розв’язання:

Даний процес становить зростаючу геометричну прогресію із знаменником «2». Перший член прогресії b1=1. Знайдемо суму n – членів геометричної прогресії n=(5*60)/20=15

Отже шукаємо S15 за відомою формулою суми геометричної прогресії.

=  = -1= 32768 – 1 = 32767 бактерій.

*Коментар вчителя фізики*

З попередніх виступів у вас можливо склалося враження про те, що знання про властивості прогресій люди використовували лише для створювання різноманітних легенд. Запевняю вас що це не так. Як з`ясувалося властивості прогресій широко використовуються в архітектурі, верстатобудуванні, машинобудуванні, в оточуючій нас природі, військовій техніці, легкій та важкій промисловості. Адже всі машини мають важливий механізм – коробку передач, за допомогою якої прискорюється або сповільнюється рух машин. Вона складається з різних шестерень, насаджених на вал, що зчіплюються між собою зубцями. Вчені багатьох країн світу довгий час працювали над розв’язанням цієї проблеми. Якими б способами вони не розміщували ці зубці, а бажаного результату все не було. І лише після відкриття російського академіка Годоліна у XIXст. це питання стало розв’язним. Годолін в результаті строгих математичних розрахунків довів, що коробки швидкостей слід будувати за ступенями швидкостей, розташованими за геометричною прогресією. Цей висновок і зараз залишається основним у процесі проектування різноманітних верстатів та механізмів. Прогресії виражають також закони деяких фізичних явищ. Наприклад тіло, що вільно падає, рухається рівноприскорено, а відрізки шляху пройдені тілом становлять арифметичну прогресію.

*Заключне слово вчителя математики*

Ось і добігає до кінця наша мандрівка країною арифметичної та геометричної прогресії.

Сьогодні ми з вами застосували на уроці інтерактивну технологію «Синтез думок» і прийшли до важливого висновку:

Знання про прогресії відіграють велику роль не лише для розвитку математичних наук, а й займають вагоме місце в розвитку людського суспільства, природи, техніки, економіки.

Скажіть мені:

Чи сподобалося вам бути учасниками сьогоднішнього уроку?

Що нового дізналися ви сьогодні на уроці?

Презентація якої команди дослідників сподобалася вам найбільше?

Що нового дізналися ви про використання властивостей прогресій у машинобудуванні, оточуючій нас природі, фізиці, біології?

Чи сподобалася вам форма проведення уроку?

Якщо сподобалась, то бажаю вам і надалі бути учасниками таких цікавих, нестандартних уроків і не лише з математики, а й з інших навчальних предметів.

Додаток

Виступ №3

Легенда про шахи.

   Гра в шахи була винайдена в Індії. І коли індуський цар Шерам познайомився з нею, він був захоплений її дотепністю і різноманітністю можливих в ній положень. Взнавши, що її винайшов один з його підданих, цар наказав покликати його, щоб особисто нагородити за вдалу вигадку.

   Винахідник, його звали Сета, з’явився до трону повелителя. Це був скромно одягнений вчений, що діставав кошти для життя від своїх учнів.

   — Я бажаю нагородити тебе, Сета, за чудову гру, яку ти придумав, — сказав цар.

       Мудрець вклонився.

   — Я досить багатий, щоб виконати твоє найсміливіше побажання, — продовжував цар.

   — Назви мені нагороду, яка тебе задовольнить, і ти одержиш її. Сета мовчав.

   — Не бійся, — підбадьорив його цар.

   — Вислови своє бажання. Я не пошкодую нічого, щоб виконати його.

   — Велика добрість твоя, повелителю. Але дай строк обміркувати відповідь. Завтра, добре зміркувавши, я повідомлю тебе про своє бажання.

   Коли другого дня Сета знов з’явився до східців трону, він здивував царя надзвичайною скромністю свого прохання.

   — Повелителю, — сказав Сета, — накажи видати мені за першу клітину шахової дошки одне пшеничне зерно.

   — Просте пшеничне зерно? — здивувався цар.

   — Так, повелителю. За другу клітку накажи видати 2 зернини, за третю — 4, за четверту — 8, за п’яту — 16, за шосту — 32…

   — Досить, — роздратовано урвав його цар.

   — Ти одержиш свої зерна за всі 64 клітки дошки, згідно з твоїм бажанням: за кожне вдвоє більше проти попередньої, але знай, що прохання твоє недостойне моєї щедрості. Прохаючи таку мізерну нагороду, ти нехтуєш моєю милістю. Справді, як учитель, ти міг би показати кращий приклад поваги до доброти свого государя. Іди, Слуги мої винесуть тобі твій мішок з пшеницею.

   Сета усміхнувся, покинув залу і почав чекати біля воріт палацу.

   За обідом цар згадав про винахідника шахів і надіслав довідатись, чи вже поніс нерозумний Сета свою жалюгідну нагороду.

   — Повелителю, — була відповідь, — наказ твій виконується. Придворні математики обчислюють число належних зерен.

   Цар нахмурився. Він не звик, щоб накази його виконувалися так мляво.

   Увечері перед сном цар ще раз запитав, чи давно Сета зі своїм мішком пшениці залишив огорожу палацу.

   — Повелителю, — відповіли йому, — математики твої працюють без утоми і сподіваються ще до світанку закінчити підрахунок.

   — Чому загаялись з цією справою? — гнівно вигукнув цар.

   — Завтра перш ніж я прокинуся, щоб усе до останньої зернини було видане Сеті. Я двічі не наказую.

   Вранці цареві повідомили, що старшина придворних математиків прохає вислухати важливе повідомлення.

   Цар наказав ввести його.

   — Перед тим, як скажеш про свою справу, — оголосив Шерам, — я бажаю почути, чи видано Сеті ту мізерну нагороду, яку він собі призначив.

   — Заради цього я і насмілився з’явитися перед тобою в такий ранній час, — відповів старий.

   — Ми сумлінно обчислили всю кількість зерен, яку бажає одержати Сета. Число це таке велике…

   — Яке б велике воно не було, — гордовито перебив цар, — житниці мої не зубожіють. Я обіцяв нагороду, і вона повинна бути видана.

   — Не в твоїй владі, повелителю, виконувати такі бажання. У всіх коморах твоїх немає такої кількості зерна, яку запросив Сета. Немає її і в житницях цілого царства. Не знайдеться стільки зерна і на всій Землі. І якщо бажаєш неодмінно видати обіцяну нагороду, то накажи перетворити землі царства в орні поля, накажи осушити моря і океани, накажи розтопити весь лід і сніг, що вкриває далекі північні простори. Нехай вся земля буде засіяна пшеницею. І все те, що вродить на цих полях, накажи віддати Сеті. Тоді він одержить свою нагороду. Здивовано слухав цар слова старого.

   — Назви мені це величезне число, — сказав він задумливо.

   — Вісімнадцять квінтильйонів чотириста сорок шість квадрильйонів сімсот сорок чотири трильйони сімдесят три більйони сімсот дев’ять мільйонів п’ятсот п’ятдесят одна тисяча шістсот п’ятнадцять, о повелителю!

  Така легенда. Чи дійсно було те, про що тут розказано, невідомо, — але що нагорода, про яку каже переказ, повинна була виражатися саме таким числом, в цьому можна переконатися терплячим підрахунком. почавши з одиниці, треба скласти числа: 1, 2, 4, 8, 16 і т.д. Результат 63-го подвоєння покаже, скільки належало винахідникові за 64-ту клітку дошки. Ми легко можемо знайти всю суму, якщо подвоїмо останнє число і віднімемо одну одиницю. Отже, підрахунок зводиться лише до перемноження 64 двійок:

         2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 і т.д. 64 рази.

   Для полегшення підрахунку поділимо ці 64 множники на 6 груп по 10 двійок в кожній і одну останню групу з 4 двійок. Добуток 10 двійок дорівнює 1024, а 4 двійок — 16. Отже, шуканий результат дорівнює:

        1024 × 1024 × 1024 × 1024 × 1024 × 1024 × 16.

    Перемноживши 1024 × 1024, одержимо 1 048 576.

    Тепер залишається знайти: 1 048 576 × 1 048 576 × 1 048 576 × 16, віднявши від результату одну одиницю, — і нам буде відоме шукане число зерен:

        18 446 744 073 709 551 615.

   Відомо, що кубічний метр пшениці вміщує близько 15 мільйонів зерен. Отже, нагорода винахідника шахів повинна була б зайняти об’єм приблизно 12 000 000 000 000 м3, або 12 000 . При висоті комори 4м і ширині 10м довжина її простяглася б на 300 000 000 км, — тобто вдвоє далі, ніж від Землі до Сонця.

   Індуський цар неспроможний був видати таку нагороду. Але якби він добре знав математику, то міг би звільнитися від такого обтяжливого боргу. Для цього треба було лише запропонувати Сеті самому відлічити зернину по зернині всю належну йому пшеницю.

   І справді: Якби Сета, почавши лічбу, лічив зерна безперервно день і ніч, відлічуючи по зернині за секунду, він за першу добу відлічив би лише 86 400 зерен. Щоб відлічити мільйон зерен, треба було б неменше 10 діб невтомної лічби. Один кубічний метр пшениці він відлічив би приблизно за пів року: це дало б йому лише 5 четвертей. Навіть присвятивши лічбі решту свого життя, Сета одержав би лише мізерну частину запрошеної ним нагороди.

Виступ № 4

Щедра нагорода.

   Полководець Теренцій, за наказом імператора, зробив побідоносний похід і з трофеями повернувся до Риму. Прибувши у столицю, він попрохав пустити його до імператора.

   Імператор ласкаво зустрів полководця, сердечно подякував йому за військові послуги імперії і обіцяв у нагороду дати високий пост у сенаті.

   Але Теренцієві треба було не це. Він зауважив:

   — Багато перемог здобув я, щоб піднести твою могутність, імператоре, і повити ім’я твоє славою. Я не боявся смерті, і якби в мене було не одне, а багато життів, я їх віддав би тобі у жертву. Але я втомився воювати, минула молодість, кров повільніше тече в моїх жилах.

   Настав час відпочити у будинку моїх предків.

   — Чого бажав би ти від мене, Теренцію? — запитав імператор.

   — Милостиво вислухай мене, імператоре! За довгі роки військового життя, з дня на день обагряючи меч свій кров’ю, я не встиг влаштувати собі грошового благополуччя. Я бідний, імператоре…

   — Продовжуй, хоробрий Теренцію.

   — Якщо хочеш дарувати нагороду скромному слузі своєму, — продовжував підбадьорений полководець, — то нехай щедрість твоя допоможе мені дожити мирно у достатку роки біля домашнього вогнища. Я не шукаю почестей і високого становища у всемогутньому сенаті. Я бажав би віддалитися від влади і від життя громадського, щоб спокійно відпочити. Імператоре, дай мені грошей для забезпечення решти мого життя.

   Імператор — каже переказ — не відзначався великою щедрістю, він любив збирати гроші для себе і скупо давав їх іншим. Прохання полководця примусило його задуматися.

   — Яку ж суму, Теренцію, вважав би ти для себе достатньою? — запитав він.

   — Мільйон динарів, імператоре.

   Знову замислився імператор. Полководець чекав, схиливши голову. Нарешті імператор заговорив:

   — Доблесний Теренцію! Ти великий воїн, і славні подвиги твої заслуговують на щедру нагороду. Я дам тобі багатство. Завтра опівдні ти почуєш тут моє рішення. Теренцій вклонився і вийшов.

   Другого дня в призначений час полководець з’явився до імператора.

   — Вітаю тебе, хоробрий Теренцію! — сказав імператор.

   Теренцій смирно нахилив голову.

   — Я прийшов, імператоре, щоб вислухати твоє рішення. Ти милостиво обіцяв нагородити мене.

   Імператор відповів:

   — Не хочу, щоб такий благородний войовник, як ти, одержував за свої подвиги мізерну нагороду. Вислухай мене. В моєму казначействі є 5 мільйонів мідних брасів. Тепер вслухайся в мої слова. Ти увійдеш у казначейство, візьмеш одну монетку в руки, повернешся сюди і покладеш її біля моїх ніг. Другого дня знову підеш до казначейства, візьмеш монетку, яка дорівнює два браси, і покладеш тут поряд з першою. На третій день принесеш монету вартістю 4 браси, на четвертий — вартістю 8 барсів, на п’ятий — 16 і так далі, все подвоюючи вартість монети. І поки вистачить у тебе сили піднімати монети, будеш ти виносити їх з мого казначейства. Ніхто не має права допомагати тобі, ти повинен користуватися тільки власними силами. І коли помітиш, що не можеш вже більше підняти монету — зупинися: умова наша закінчиться. Але всі монети, які вдалося тобі винести, залишаться твоїми і будуть нагородою.

   Жадібно вслухався Теренцій у кожне слово імператора. Йому привижалася велика кількість монет, одна більша від другої, які винесе він з державного казначейства.

   — Я задоволений твоєю милістю, імператоре, — відповів він з радісною усмішкою. — Справді є щедрою нагорода твоя!

   Почалися щоденні відвідування Теренцієм державного казначейства. Воно містилося недалеко від приймальної зали імператора, і перші походи з монетами не коштували Теренцієві жодних зусиль.

   В перший день він виніс з казначейства лише 1 брас. Це невелика монета 21мм у поперечнику і 5г вагою.

   Легким були також другий, третій, четвертий, п’ятий і шостий переходи, коли полководець виносив монети подвійної, 4-кратної, 8-кратної, 16-кратної і 32-кратної ваги.

   Сьома монета важила 320г і мала в діаметрі 84мм.

   На восьмий день Теренцієві довелося винести з казначейства монету, яка відповідала 128 одиничним монетам. Вона важила 640г і була завширшки близько 10,5см.

   На дев’ятий день Теренцій приніс у імператорську залу монету в 256 одиничних монет. Вона мала 13см ширини і важила більше 1,25кг.

   На дванадцятий день монета досягла майже 27см у поперечнику і важила 10,25кг.

   мператор, що досі дивився на полководця ласкаво, тепер вже не ховав свого тріумфу. Він бачив, що зроблено вже 12 переходів, а винесено з казначейства лише понад 2000 мідних монет.

   Тринадцятий день приніс хороброму Теренцієві монету, яка дорівнювала 4096 одиничним монетам. Вона була близько 34см завширшки, а вага її становила 20,5кг.

   На чотирнадцятий день Теренцій виніс з казначейства важку монету у 41кг вагою і близько 42см завширшки.

   — Чи не втомився ти, мій хоробрий Теренцію? — запитав його імператор, стримуючи сміх. — ні, імператоре мій, — похмуро відповів полководець, витираючи піт з лоба.

   Настав п’ятнадцятий день. Важка була цього разу ноша Теренція. Повільно брів він до імператора, несучи величезну монету, зроблену з 16 384 одиничних монет. Вона досягла 53см у ширину і важила 80кг — вага дорослого воїна.

   На шістнадцятий день полководець хитався під ношею, що лежала на його спині. Це була монета, зроблена з 32 768 одиничних монет і важила вона 164кг, поперечник її досягав 67см. Полководець був знесилений і важко дихав. Імператор усміхався…

   Коли Теренцій з’явився у приймальну залу імператора наступного дня, його зустріли гучним реготом. Він вже не міг нести свою ношу в руках, а котив її поперед себе. Монета мала у поперечнику 84см і важила 328кг. Вона відповідала вазі 65 536 одиничних монет.

   Вісімнадцятий день був останнім днем збагачення Теренція. Цього дня закінчились його відвідування казначейства і мандрівки з ношею у залу імператора. Йому довелося доставити цього разу монету, яка відповідала 131 072 одиничним монетам. Вона мала більше метра у поперечнику і важила 655кг. Користуючись своїм списом як важелем, Теренцій з величезним напруженням сил ледве вкотив її в зал. З гуркотом упала велетенська монета до ніг імператора.

   Теренцій був зовсім змучений.

   — Не можу більше… Досить, — прошепотів він.

   Імператор ледве стримав сміх задоволення, бачачи повний успіх своїх хитрощів. Він наказав казначеєві підрахувати, скільки всього брасів виніс Теренцій у приймальну залу. Казначей виконав доручення і сказав:

   — Імператоре, завдяки твоїй щедрості побідоносний войовник Теренцій одержав у нагороду 262 143 браси.

   Отже скупий імператор дав полководцеві близько двадцятої частини тієї суми в мільйон динарів, яку прохав Теренцій.

   Теренцій прохав у імператора мільйон динарів, тобто 5 мільйонів брасів. Отже він одержав менше даної суми в 5 000 000 : 262 143 = 19 разів.

Виступ №5

Вигідна справа.

   Багач-мільйонер повернувся з мандрівки надзвичайно радісний: в дорозі у нього була щаслива зустріч, що обіцяла великі вигоди.

    «Бувають же такі удачі, — розповідав він домашнім. — Неспроста, видно, кажуть, що грошва на грошву набігає. Ось і на мою грошву грошенята біжать. І як несподівано! Зустрівся мені в дорозі незнайомець, з себе непоказний. Мені б і розмовляти з ним не личило, так він сам почав, як довідався що в мене достаток є. І таку на кінець розмови запропонував вигідну справу, що мені аж дух перехопило.

    — Зробимо, — каже, — таку угоду. Я буду цілий місяць приносити тобі щоденно по сотні тисяч карбованців. Не даром, звичайно, але плата мізерна. У перший день я маю за угодою заплатити — смішно вимовити — всього тільки одну копійку.

     Я вухам своїм не вірив:

    — Одну копійку? — перепитую.

    — Одну копійку, — каже.

    — За другу сотню тисяч заплатиш 2 копійки.

    — Ну, — не терпиться мені, — а далі?

    — А далі: за третю сотню тисяч 4 копійки, за четверту

    — 8, за п’яту — 16. І так цілий місяць, щодня вдвоє більше проти попереднього.

    — І потім ще? — запитую.

    — Усе, — каже — більше нічого не вимагатиму. Тільки міцно треба дотримуватися умови: кожного ранку буду приносити по сотні тисяч карбованців, а ти сплачуй, як умовились. Раніше місяця, дивись, кидати не смій!

     Сотні тисяч карбованців за копійки віддає! Якщо гроші не фальшиві, то не в своєму розумі людина. Проте ж справа вигідна, упускати не треба.

     — Добре, — кажу. — Неси гроші. Я вже свої сплачу акуратно. Сам, дивись не обдури: правильні гроші принось.

     — Не турбуйся, — говорить, — завтра зранку чекай.

    Тільки одно побоююсь: чи прийде? Як би не схопився, що надто невигідну справу затіяв. Ну, до завтра недовго чекати».

    Минув день. Рано-вранці постукав багатієві у вікно той самий незнайомець, якого він зустрів у дорозі.

    — Гроші готуй, — каже. — Я свої приніс.

      І, дійсно, зайшовши до кімнати, дивак став викладати гроші — справжні, не фальшиві. Відлічив рівно сто тисяч і каже:

    — Ось моє за умовою. Твоя черга платити.

     Багач поклав на стіл мідну копійку і, не вірячи, чекав, чи візьме гість монету, чи передумає, гроші свої назад вимагатиме. Відвідувач оглянув копійку, зважив у руці і заховав у торбинку.

    — Завтра у такий же час чекай. Але не забудь, дві копійки запаси, — сказав він і пішов.

    Багач не вірив удачі: сто тисяч з неба звалилось! Знов перелічив гроші, переконався, що не фальшиві: все правильно. Заховав гроші якомога далі і став чекати завтрашньої сплати.

    Вночі його охопив сумнів. Чи не розбійник простаком прикинувся, хоче подивитись, куди гроші ховають, та й потім нагрянути з шайкою лихих людей?

    Зачинив багач двері міцніше, звечора у вікно поглядав, прислухався, довго не міг заснути. Вранці знову стук у вікно: незнайомець гроші приніс. Відлічив сто тисяч, одержав свої дві копійки, заховав монету в торбинку і пішов, кинувши на прощання:

     — На завтра чотири копійки, дивись, приготуй.

     Знову радіє багач: Друга сотня тисяч задаром дісталася. А гість на грабіжника і не схожий: по сторонах не дивиться, не розглядає, свої тільки копійки вимагає.

     Дивак! Побільше б таких на світі, розумним людям добре б жилося…

     З’явився незнайомець і на третій день — третя сотня тисяч перейшла до багача за чотири копійки.

     Ще день, і з’явиться четверта сотня тисяч — за 8 копійок.

     Прийшла і п’ята сотня тисяч — за 16 копійок.

     Потім шоста за 32 копійки.

     Через сім днів від початку угоди багач одержав уже сімсот тисяч карбованців, а сплатив дрібниці:

     1 коп. + 2 коп. + 4 коп. + 8 коп. + 16 коп. + 32 коп. + 64 коп. = 1 крб. 27 коп.

     Сподобалося це жадібному мільйонерові, і він вже почав шкодувати, що домовився лише на один місяць. Більше трьох мільйонів одержати не доведеться. Схилити хіба дивака продовжити строк ще хоч на півмісяця? Боязко: як би не зрозумів, що даром гроші віддає…

      А незнайомець акуратно щоранку приходив зі своєю сотнею тисяч. На восьмий день він одержав 1крб. 24 коп., на дев’ятий — 2 крб. 56 коп., на десятий — 5 крб. 12 коп., на одинадцятий — 10 крб. 24 коп., на дванадцятий — 20 крб. 48 коп., на тринадцятий — 40 крб. 96 коп., на чотирнадцятий — 81 крб. 92 коп..

     Багач з охотою сплачував ці гроші: адже він дістав уже один мільйон чотириста тисяч карбованців, а віддав незнайомцеві всього близько півтораста карбованців.

     Недовго, однак, тривали радощі багача: незабаром почав він розуміти, що дивний гість не простак, і що умова з ним зовсім не така вже вигідна, як здавалося спочатку. Через 15 днів доводилося за наступні сто тисяч платити вже не копійки, а сотні карбованців, і плата дуже швидко зростала. І справді, багач сплатив у другій половині місяця:

                      за п’ятнадцяту сотню тисяч — 163 крб. 84 коп.,

                      за шістнадцяту — 327 крб. 68 коп.,

                      за сімнадцяту — 655 крб. 36 коп.,

                      за вісімнадцяту — 1310 крб. 72 коп.,

                      за дев’ятнадцяту — 2621 крб. 44 коп..

    А проте багач вважав, ще далеко йому до збитків: хоч і сплатив більше п’яти тисяч, зате одержав один мільйон дев’ятсот тисяч.

    Прибуток, однак, щодня зменшувався, притому все швидше і швидше.

                     За двадцяту сотню тисяч багач сплатив 5 242 крб. 88 коп.,

                     за двадцять першу — 10 485 крб. 76 коп.,

                     за двадцять другу — 20 971 крб. 52 коп.,

                     за двадцять третю — 41 943 крб. 04 коп.,

                     за двадцять четверту — 83 886 крб. 08 коп.,

                     за двадцять п’яту — 167 772 крб. 16 коп.,

                     за двадцять шосту — 335 544 крб. 32 коп.,

                     за двадцять сьому — 671 088 крб. 64 коп..

    Платити довелося вже більше, ніж одержувати. На цьому б спинитися, але не можна ламати умову.

     Далі пішло ще гірше. Надто пізно переконався мільйонер, що незнайомець жорстоко перехитрив його і одержить значно більше грошей, ніж сам сплатить…

     Починаючи з 28 дня, багач повинен був вже платити мільйони. А останні два дні його зрештою розорили.

     Ось ці величезні платежі:

                    за двадцять восьму сотню тисяч — 1 342 177 крб. 28 коп.,

                    за двадцять дев’яту — 2 684 354 крб. 56 коп.,

                    за тридцяту — 5 368 709 крб. 12 коп..

   Коли гість прийшов востаннє, мільйонер підрахував, чого коштували йому такі дешеві на перший погляд три мільйони карбованців. Вийшло, що оплачено було незнайомцеві 10 737 418 крб. 23 коп. Без малого 11 мільйонів!.. А почалося ж з одної копійки. Незнайомець міг приносити навіть по три сотні тисяч і все-таки не програв би.