Прості числа.Решето Ератосфена. Дослідницька робота учнів 6 класу

Відділ освіти виконавчого комітету Апостолівської міської ради

Широчанський навчально- виховний комплекс                                                                                    «загальноосвітній навчальний заклад І-ІІ степенів – дошкільний навчальний заклад»

Дослідницька робота учнів 6 класу

Тема: «Прості числа».

Керівник: Капітонова Світлана Сергіївна, вчитель математики; вища кваліфікаційна  категорія, педагогічний стаж 40 років.

Актуальність:

Мета роботи:дослідити множину простих чисел, визначити всі прості числа і їх кількість, які менші або рівні натурального п; створити таблицю простих чисел.             

Методи дослідження:

1.Аналіз літератури.

 2. Ознайомлення зі способом знаходження простих чисел «Решетом Ератосфена».

3. Навчитися знаходити прості числа за допомогою «Решета Ератосфена».

4. Дослідити використання простих чисел у повсякденному житті.

Новизна дослідження: пошук математичних уявлень у школярів про знаходження простих чисел у множині натуральних чисел.

Практичне значення: вивчення методів пошуку простих чисел сприяє підвищенню інтересу до вивчення математики у школярів та їх батьків.

Завдання :

1. Опрацювати наявну літературу з даної теми, ресурси мережі Інтернет.

2.Знайти прості числа

3. Виготовити модель решета Ератосфена

Об’єкт дослідження: прості числа, «решето Ератосфена».

Предмет дослідження: таблиця простих чисел.

Теоретична  частина.

Ератосфен Кіренський (276 рік до н. е.-194 рік до н. е.) — грецький математик, астроном, географ, філолог і поет. Перший відомий вчений, який обчислив розміри Землі. Початкову освіту Ератосфен отримав в Олександрії під керівництвом свого вченого земляка Калімаха. Іншим вчителем Ератосфена в Олександрії був філософ Лізній. Перебравшись потім в Афіни, він так тісно зблизився зі школою Платона, що зазвичай називав себе платоніком. Результатом вивчення наук в цих двох центрах була енциклопедична ерудиція Ератосфена; крім творів з математичних наук, він писав ще трактати «про добро і зло», про комедію та ін. З усіх своїх творів Ератосфен надавав особливого значення літературним і граматичним, із цього можна зробити висновок, що він любив називати себе філологом. У 245 році до н.е. цар Птолемей III Евергет запросив Ератосфена в Афіни для роботи в Олександрійській бібліотеці, де вже працювали його вчитель Калімах і Аполлоній Родоський. Ератосфен відгукнувся на запрошення, у віці близько тридцяти років він приїхав до Олександрії, де і залишився до самої смерті. Через п’ять років після приїзду він змінив Аполлонія Родоського на посаді голови Олександрійської бібліотеки. Як голова бібліотеки, Ератосфен займався навчанням дітей монарха — майбутнього правителя Птолемея IV і його сестри (а згодом і дружини) Арсіної. Він помер у 194 році до н.е., втративши посаду голови бібліотеки, до того ж він осліп. Ератосфена спіткала голодна смерть, але, ймовірно, не від безгрошів’я, а як досить жорстокий спосіб самогубства.

Просте число

Просте число — це натуральне число, яке має рівно два різних натуральних дільники (лише 1 і саме число).

Послідовність простих чисел починається так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113 , 127, 131, 137, 139, 149, …

Складене число

Складене число — натуральне число, яке більше 1 і не є простим. Кожне складене число є добутком двох натуральних чисел, більших 1.

Послідовність складених чисел починається так: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, …

Будь-яке складене число може бути єдиним чином розкладене в добуток простих множників.

Основна теорема арифметики

Будь-яке натуральне число більше одиниці може бути представлене у вигляді добутку простих чисел і таке представлення є єдиним з точністю до порядку множників.

Розклад натуральних чисел на добуток простих

Представлення натурального числа у вигляді добутку простих називають розкладом на прості або факторизацією числа.

Існують таблиці простих чисел, що простягаються до дуже великих чисел. Ератосфен з Олександрії склав ще одну таблицю (за деякими відомостями ще у 200-му році до н.е.).Цю таблицю названо «Решетом Ератосфена».

Легенда створення «решета Ератосфена»

Старогрецький математик-рабовласник Ератосфен скликав своїх рабів і запропонував їм таке: «Напишіть ряд чисел від 1 до п. Перше викресліть. Друге обведіть колом і викресліть кожне 2-ге число, починаючи з 4. Обведіть колом 3 і викресліть кожне 3-тє число, починаючи з 9 і так далі».Робіть це до тих пір, поки у вас є вільні числа. Ті числа, які обведені колом, - числа, які шукають.

Такий метод висівання простих чисел отримав назву «Решето Ератосфена» , це пов’язано з тим, що древні греки писали на воскових дощечках, і числа не викреслювали, а виколювали голкою, після чого дощечки нагадували решето.

 Решето Ератосфена, решето Сундарама та решето Аткіна дають прості способи складання початкового списку простих чисел до певного значення.

Однак на практиці замість отримання списку простих чисел найчастіше потрібно перевірити, чи є дане число простим. Алгоритми, які вирішують це завдання, називають тестами простоти. Існує безліч поліноміальних тестів простоти, але більшість з них є стохастичними (наприклад, тест Міллера — Рабина) і використовуються для потреб криптографії. Тільки в 2002 році було доведено[1], що завдання перевірки на простоту в загальному вигляді можна розв'язати за поліноміальний час, але запропонований детермінований алгоритм має досить велику складність, що ускладнює його застосування на практиці.

Для деяких класів чисел існують спеціалізовані ефективні тести простоти. Наприклад, для перевірки на простоту чисел Мерсенна використовують тест Люка — Лемера, а для перевірки на простоту чисел Ферма — тест Пепіно.

Решето́ Ератосфе́на в математиці — простий стародавній алгоритм знаходження всіх простих чисел менших деякого цілого числа  n, що був створений давньогрецьким математиком Ератосфеном.

Простих чисел нескінченно багато. Найдавніше відоме доведення цього факту дав Евклід у «Началах» (книга IX, твердження 20). Його доведення може бути коротко відтворено так:

Уявімо, що кількість простих чисел скінченна. Перемножимо їх і додамо одиницю. Отримане число не ділиться на жодне зі скінченного набору простих чисел, тому що залишок від ділення на будь-яке з них дає одиницю. Значить, добуток має ділитись на деяке просте число, не включене до цього набору.

Пратична частина дослідження.

Завдання 1.

Знайдіть усі прості числа від 1 до 1000.

Алгоритм роботи:

1.Викреслюємо 1.

2.Обведемо двійку і, починаючи з чотирьох, викреслюватимемо кожне друге число.

3. Обведемо трійку і, починаючи з  9,  викреслюватимемо кожне третє  число.

4.Аналогічно робимо з числами 5,7,11, 13, 17, 19,…

1. 1 – 100

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

2. 101 – 200

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 17, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

3. 201 – 300

211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293.

4. 301 – 400

307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397.

5. 401 – 500

401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499.

6. 501 – 600

503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599.

7. 601 – 700

601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691.

8. 701 – 800

701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797.

9. 801 – 900

809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887.

     10)  901 – 1000

907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

Дані заносимо у таблицю

Висновок: кількість простих чисел у  рядках поступово зменшується.

Завдання 2.

Які з наступних чисел є простими:

1. Рік вашого народження.

2. Поточний рік.

3. Знайдіть просте число,  більше за дату поточного року.

Розв’язування:

1. 2006рік не є простим числом, це є складене число, бо воно ділиться на 2.

2.2018 не є простим числом, це є складене число, бо воно ділиться на 2.

3. Найближче до дати поточного року просте число є

2019 ділиться на 3;

2020 ділиться на 2, 5;

2021 ділиться на 43;

2022 ділиться на 2,3, 337;

2023 ділиться на 7;

2024 ділиться на 2, 11, 23;

2025 ділиться на 3, 5;

2026 ділиться на 2;

2027 є простим числом .

Висновки.

Прості числа є тими цеглинками з яких будуються всі інші числа. Для простих чисел не існує формули за якою можна їх знайти. Не існує найбільшого простого числа, послідовність простих чисел нескінчена.

Література

1. Шейко В. М., Кушнаренко Н. М. Організація та методика науково-дослідницької діяльності: Підручник. — 2-ге вид., перероб. і доп. — К.: Знання-Прес, 2002.

2.Інтернет - ресурси.