Рівняння та його корені

Тема. Рівняння та його корені

Мета: домогтися свідомого сприйняття змісту поняття «рівняння»; по­глибити, розширити та узагальнити знання учнів про рівняння, здобуті в молодших класах.

Тіш уроку: узагальнення та систематизація знань.

Хід уроку

I. Організаційний момент

Інструктаж учителя щодо ходу проведення уроку.

II. Перевірка домашнього завдання

 Перевірку виконання основної частини домашнього завдання (зав­дання на відтворення можна провести у формі заповнення анкети:

№ прикладу: ... відповідь: ... вид перетворення: ... — зібрати на перевірку (оцінка може бути вербальною) або зібрати зошити, перевірити ре­тельно домашнє завдання і оцінити як домашню самостійну роботу.

Завдання № 2 є завданням випереджального характеру, тому на "його перевірку відводиться більше часу на уроці.

III. Робота із випереджальним домашнім завданням

На дошці записане завдання № 2 з домашнього завдання:

Серед математичних записів один зайвий. Поясніть, який та чому?

1) 3х + 2 = 5; 2) 3 + 2 = 5х; 3) 3 + 2 = 5; 4) 3х + 2х = 5.

Кожний з учнів отримує завдання здійснити порівняння за алгоритмом:

1. знайдіть відмінності між цими записами;
2. знайдіть схожість у цих записах;
3. сформуйте групи за ознакою схожості;
4. дайте означення утвореним групам.

* Якщо діти не володіють термінологією, то варто попрацювати над тлумаченням слова «визначити» (додаток): скільки має лексичних зна­чень; як адаптується на математичному розумінні; яке смислове порів­няння, не пов'язане з математикою, могли б дати цьому поняттю (на­приклад, «означення» — це як портрет поняття, що визначається).

У будь-якому разі після проведеної роботи учні усвідомлюють, що рівністю з невідомим значенням букви називають рівняння з одним невідомим (або рівняння з однією змінною).

IV. Поглиблення та систематизація знань

 Оскільки з рівняннями учні уже зустрічались у молодших класах, їм знайомі поняття «рівняння», «корінь рівняння», вони взагалі розуміють зміст завдання — розв'язати рівняння. На уроці ці відомості систематизуються, узагальнюються та поглиблюються, а саме:

1) звертаємо увагу на те, що традиційно після нестрогого означення рівняння з однією змінною формулюється означення кореня (розв'язку рівняння), у зв'язку з чим:

2) звертаємо увагу учнів на той факт, що рівняння з однією змінною може мати один або кілька, або безліч коренів, а може й не мати їх взагалі, а тому:

3) завдання щодо розв'язування рівняння вважатиметься відтепер ви­конаним, якщо знайдено всі корені або доведено, що їх взагалі не існує.

Зауважимо, що сприйняття учнями 2-ї частини теоретичного матеріа­лу є найбільш проблемним, тому бажано в ході пояснення спиратись на конкретні текстові задачі. Наприклад:

Задача 1. Якщо невідоме число збільшити у 3 рази, дістанемо 18. Знай­діть невідоме число.

Розв'язання. Нехай х — невідоме; 3х = 18 — рівняння; 6 — корінь, єди­ний.

Задача 2. Добуток трьох послідовних цілих чисел дорівнює 0. Знайдіть ці числа.

Розв'язання. Нехай х — менше число, тоді (х+1) та (х+2) наступні цілі чис­ла, добуток яких х(х+1)(х+2) дорівнює 0. Маємо рівняння: х(х+1)(х+2)=0, його розв'язки знаходимо з умов:

х = 0    або х + 1 = 0;    або  х + 2 = 0,

х = -1         х = -2.

Отже, або х = 0, х + 1 = 1; х + 2 = 2, тобто числа 0; 1; 2;

 або х = -1, х + 1 = 0; х + 2 = 1, тобто числа -1; 0; 1;

 або х = -2, х + 1 = -1; х + 2 = 0, тобто числа -2; -1; 0.

Задача має три розв'язки!!!

Задача 3. На одну шальку терезів поклали п'ять однакових гир, а на другу спочатку дві, а потім ще три таких самих гир, після чого терези врівноважилися. Яка маса гирі?

Розв'язання. Нехай маса однієї гирі х кг, тоді маса двох - 2х кг, трьох - 3х кг, п'яти — 5х кг. Складемо рівняння: 5х = 2х + 3х.

Знаходимо, що 5х = 5х, тобто х може бути будь-яким додатним числом (бо за змістом задачі х — маса — не може бути ані 0, ані від'ємним числом).

Отже, задача має безліч розв'язків.

Задача 4. Невідоме число збільшили на 3 і дістали те ж саме число. Яке число задумали?

Розв'язання. Нехай х — невідоме число. За умовою задачі х + 3 = х, але такого числа, щоб було менше за самого себе, не існує, тобто рівняння не має коренів.

V. Закріплення знань. Засвоєння вмінь

Важливим видом завдань, які повинні навчитися розв'язувати учні, є такі:

а) перевірка, чи є число коренем рівняння;

б) складання рівнянь із заданими коренями;

в) розв'язування рівнянь, що мають кілька коренів (за властивістю 0 при множенні), та рівнянь, що мають безліч коренів або не мають коренів.

Виконання усних вправ

1. Чи є числа 2; -1; 0; 1; 2 коренем рівняння х² – 1 = 0?

2. Скільки коренів мають рівняння?

2x = 1; 2x = 0; x = x + 3; 2 + x = x + 2; x(x – 5) = 0; (x – 2) = 0.

3. Чому не мають коренів рівняння?

1) х = х - 4; 2) х² = -9; 3) 0у = 2; 4) |z + 1| = -l.

4. Розв'яжіть рівняння: |x| = 11; |x| = 0; |x| = -10.
 

Виконання письмових вправ

1. Чи є число 3 коренем рівняння?

1) 5(2х – 1) = 8х + 1; 2) (х – 4)(х + 4) = 7; 3) x – 1 = |1 – x|.

2. Які з чисел -2; -1; 0; 2; 3 є коренями рівняння?

1) х² = 10 – 3х; 2) х(х² – 7) = 6.

3. Доведіть, що:

1) кожне з чисел 7; -3 та 0 є коренем рівняння х(х + 3)(х – 7) = 0;

2) коренем рівняння 1,4(y + 5) = 7 + 1,4y є будь-яке число;

3) рівняння у – 3 = у не має коренів.

4. Складіть яке-небудь рівняння, коренем якого є число: 1) 8; 2) -12.

5*. При яких значеннях коефіцієнта т рівняння тх = 5 має єдиний корінь?

Чи існує таке значення т, при якому це рівняння не матиме коренів; буде мати безліч коренів?

6*. При яких значеннях коефіцієнта р рівняння рх = 10 має корінь, що дорівнює-5; 1; 20?

VI. Рефлексія. Ігровий момент

Учень 7 класу Петрик Тяпляпкін, розв'язавши завдання «Чи є число 2 коренем рівняння |х| = 2?» і отримавши ствердну відповідь, зробив висновок, що він розв'язав це рівняння. Чи правильний висновок зробив Пет­рик? Чому?

VII. Домашнє завдання

№ 1. Чи є коренем рівняння х² = 5х – 6 числа: 1) 2; 2) 0; 3) -1; 4) 4; 5) 3?

№ 2. Запишіть рівняння, що має:

1) єдиний корінь — число 4;  2) два корені 4 та -4.

№ 3. При яких значеннях а коренем рівняння 2х + а = -1 є число 1?

№ 4. Випереджальне домашнє завдання.

Розгляньте розв'язання рівняння:

5(х – 2) + 11 = 3х + 9; 5х – 10 + 11 = 3х + 9; 5х + 1 = 3х + 9;

5х – 3х = 9 – 1; 2х = 8; х = 8 : 2; х = 4.

Використовуючи текст підручника, поясніть, на підставі яких власти­востей (тверджень) виконано кожний крок у розв'язанні цього рівняння.

Додаток

«Визначити» за тлумачним словником:

1) з точністю з'ясувати, встановити;

2) розкрити словами зміст будь-чого;

3) назначити з будь-якою метою;

4) намітити для виконання.

Визначати завдання на майбутнє.

Определять (рос.)