Рівняння та його корені. Рівносильні рівняння

Тема. Рівняння та його корені. Рівносильні рівняння

Мета: пояснити, розширити та узагальнити відомості про властивості рівносильних рівнянь та способах їх застосування до розв'язування найпростіших рівнянь з однією змінною.

Тип уроку: систематизація, поглиблення та узагальнення знань, умінь, навичок.

Хід уроку

I. Організаційний момент

II. Перевірка домашнього завдання

№ 1, 3 перевіряємо під час взаємоперевірки зошитів (результати вико­нання завдань записані за дошкою).

№ 1. Коренями рівняння є: 1) 2; 5) 3.

№ 3. х = 1, тоді а = -3.

№ 2 можна перевірити й оцінити як творчу роботу, давши завдання записати складені рівняння на аркушах і зібравши їх.

№ 4 — випереджальне домашнє завдання, обговорюємо окремо.

Умова завдання записана на дошці. Учні отримують індивідуальні картки:

Технологія виконання завдання.

Спочатку учні індивідуально (або в парах) заповнюють другий стов­пчик таблиці («Коментар»), спираючись на ті відомості, які вони здобули вдома під час самостійної роботи із текстом підручника (на це дається приблизно 5 хвилин). Після чого під час фронтальної бесіди з'ясовуються відповіді, за необхідності вони записуються в графі «Корекція».

По закінченні підбиваємо підсумки і формулюємо мету уроку: повто­рити й узагальнити відомості про властивості" рівнянь, що допомагають у їх розв'язуванні.

III. Поглиблення та систематизація знань

 Істотно новим для учнів є поняття рівносильності рівнянь. Слід за­значити, що мова не йде про будь-яке вивчення теорії рівносиль­ності, доведення відповідних теорем і т. ін. Викласти в 7 класі цей матеріал з достатнім ступенем точності було б складно. Завдання полягає в тому, щоб учні усвідомили зміст поняття рівносильності, зрозуміли формулювання властивостей рівносильності. Важливо звернути увагу учнів на те, що властивості рівнянь є безпосередніми наслідками властивостей числових рівностей. Ця думка розкри­вається на прикладах рівносильних рівнянь, наведених у під­ручнику. Учні мають розуміти зміст наведених у підручнику міркувань. Вимагати від них запам'ятовування і відтворення вла­стивостей рівносильності не слід.

План викладення матеріалу може бути таким:

1) Поняття рівносильності рівнянь.

2) Основні властивості рівносильності рівнянь.

Записи учнів можуть мати такий вигляд (Конспект 1):

1. Два рівняння називають рівносильними (еквівалентними), якщо вони
мають одні й ті ж самі корені, тобто кожний корінь першого рівняння
є коренем другого рівняння, і, навпаки, кожен корінь другого рівняння
є коренем першого.

Зауваження. Два рівняння, що не мають коренів, також вважаються рівносильними.

Наприклад

1. (х + 3)(х – 3) = 0 і |x| = 3 — рівносильні, бо мають одні й ті самі корені: 3 і -3;
2. х + 2 = х і х – 7 = х рівносильні, бо не мають коренів;
3. х(х – 2) = 0 і х – 2 = 0не є рівносильними, бо перше має два корені: 0 і 2, а друге рівняння має один корінь 2.

2. Властивості (рівносильності) рівнянь

Щоб дістати рівняння, рівносильне даному, можна:

а) розкрити дужки, звести подібні доданки в кожній частині рівняння;

б) перенести деякий доданок з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком;

в) помножити або поділити на одне й те саме відмінне від 0 число обидві частини рівняння.

Приклад (див. № 4 домашнього завдання).

IV. Засвоєння знань, умінь, навичок

 Оскільки новим на уроці була саме термінологія, то особливу увагу слід приділити вправам на закріплення термінології (див. нижче), виконуючи які, учні повинні формулювати відповідні властивості рівнянь.

Виконання усних вправ

1. Чи рівносильні рівняння?

а) Якщо перше має корені 2 і -2, а друге має корені -2; 2; 0;

б) х + 1 = х та х – 2 = х + 3;

в) -3(х – 5) = 11 та 3(х – 5) = 11;

г) 2х – 1 = 17 та 2х = 17+1.

2. Обґрунтуйте рівносильність рівнянь:

а) 2х – 5 = 1 та 2х = 1 + 5;   б) 2(х – 2) = х та 2х – 4 = х;

в) 3х + 2 = 5х + 4 та 3х – 5х = 4 – 2;  г) та 1 – 4х = 3х.

3. Поясніть кожний крок розв'язування рівняння:

а) 3(х – 2) = 5х + 4; 3х – 6 = 5х + 4; 3х – 5х = 4 + 6; -2х = 10; х = 10 : (-2); х = -5.

б) ; ; 1 + 2х = 12 + 3х; 2х – 3х = 12 – 1; -х = 11;

х = -11.

Виконання письмових вправ

1. Використовуючи властивості рівносильності, розв'яжіть рівняння:

1) 7х – 4 = 3х – 9; 2) 3(х + 2) = 15(х – 2); 3) (х + 1) = ;

4) 200(х – 5) = 100(х + 1) + 500;  5) 3(2 – 4х) – 2(5 + 3х) = 20;

6) 3,4 + 0,2y = 0,7(y – 2).

 Звернімо увагу, що під час розв'язування рівнянь 2), 3), 4) і 6) доцільно буде підказати дітям («підвести» їх до розуміння цього факту), що найкраще розпочати розв'язування рівняння із викори­стання третьої властивості рівносильності рівнянь (№ 3) і 6) — по­множити обидві частини на НСК знаменників дробових коефі­цієнтів, а в № 2) і 4) — поділити обидві частини рівняння на НСД коефіцієнтів).

2* (додатково). Обчисліть значення виразу

8(3 – 3,5m) – 20 + 23m при т = -2,5; 1,2; 40.

3*. Вставте пропущене слово:

V. Рефлексія

Щоб перевірити факт засвоєння матеріалу уроку можна виконати вправи на дописування.

1. Рівняння -2х + 3 = -3 і -2х = -3 – 3 є ..., бо...
2. Рівняння -2х = -3 – 3 і -2х = -6 є ..., бо ...
3. Рівняння -2х = -6 і х = -6 : (-2) є ..., бо ...

Отже, х = 3 є коренем рівнянь...,...,...

Правильні відповіді заздалегідь записані за дошкою і відкриваються для перевірки виконаного завдання:

1. ...рівносильними; ...перенесли доданок в іншу частину рівняння з протилежним знаком.
2. ...рівносильними; ...додали подібні доданки.
3. ...рівносильними; ...поділили обидві частини рівняння на (-2).

-2х + 3 = -3; -2х = -3 – 3; -2х = -6.

VI. Домашнє завдання

№ 1. Чи рівносильні рівняння?

1) 7(х – 3) = 49 та х – 3 = 7;  2) та 2х = 27;

3) 2х – 7 = 0 та 2х = 7;  4) х² = 5х – 6 та х² – 5х + 6 = 0.

№ 2. Розв'яжіть рівняння, використовуючи властивості рівносильнос­ті рівнянь:

1) 8х + 4 = 3х + 4; 2) (х – 5) = ; 3) 50(х + 3) = 250(х + 1);

4) 1,6(а – 4) – 6,6 = 3(0,4а – 7).

№ 3. Не розв'язуючи рівняння 7(2х + 1) = 13, доведіть, що його корінь не є цілим числом.

№ 4. Випереджальне домашнє завдання.

Розв'яжіть рівняння: 2х – 6 – 0,2 · (2х – 6) = 0; |2х – 6| = 6; .

Порівняйте розв'язання цих рівнянь за алгоритмом.