Рівняння,які містять обернені тригонометричні функції

Рівняння,які містять обернені тригонометричні функції.

Розглянемо найпростіші  рівняння ,які містять обернені тригонометричні функції.

arcsin x = a  ,   (|a|)         ⟹ x = sin a

arcos x = a   ,   (a π)    ⟹ x = cos a

arctg x = a    ,   (|a|         ⟹ x= tg a

arcctg x =a   ,    a π)   ⟹ x = ctg a

Рівняння вигляду P(y(x)) = 0,де P-деяка раціональна функція,а y(x) – одна з аркфункцій,зводиться до найпростіших рівнянь y(x) = y_i ,де y_{i –} корені рівняння P(y) = 0.Розглянемо приклад.

Приклад 1.Розв’язати рівняння

2 x – arcsinx – 6 = 0.

Розв'язання.Робимо заміну змінних y = arcsinx.Отримаємо

2 – y – 6 = 0,

Розв’язуємо його та отримуємо

y₁ = 2, y₂ = -1,5.

Відповідно,для того щоб вирішити початкове рівняння нам потрібно розв'язати два найпростіші рівняння

arcsin x = 2 , arcsin x = -1,5.

Так як 2 > , а |-1,5| < ,то єдиним коренем буде x = - sin 1,5.

Відповідь: x = - sin 1,5.

Якщо у рівняння входять вирази,які містять різні аркфункції,або аркфункції від різних аргументів,то для того щоб розв'язати його потрібно порахувати деяку тригонометричну функцію від обох частин цього тригонометричного рівняння.

Отримані при цьому сторонні корені можна відділити перевіркою.

Якщо застосовувати в якості тригонометричної функції тангенс чи котангенс,то розв'язки,які не входять в область визначення цих функцій можна втратити.Тому перед обчисленням значень тангенса чи котангенса від обох частин рівняння потрібно переконатись,що серед тих точок,що не входять в область визначення цих функцій немає коренів початкового рівняння.

Приклад 2.Розв'язати рівняння 2 arctg (2x+1) = arcos x.

Розв’язання.Вирахуємо від обох частин рівняння косинус.Отримаємо

cos[2 arctg (2x+1)] = x.

Ліву частину цього рівняння можна перетворити до вигляду

cos[2 arctg (2x+1)] = =

Таким чином отримуємо

= x  ⟺    2 – x =0.

Розв’язками рівняння 2 – x =0 є 0,.

Для того щоб дізнатись,які зі чисел задовольняють початкове рівняння ,потрібно зробити перевірку.

При x = 0 обидві частини рівняння дорівнюють .

При x = права і ліва частина рівняння дорівнюють відповідно та 2 arctg( ­­­+ 1).Проте arctg( ­­­+ 1) > .

Значить x = сторонній корінь.

При x = ліва частина рівняння від'ємна,а права додатня.Відповідно,x = теж сторонній корінь.

Відповідь:0.