Різнорівневі завдання з алгебри для учнів 11-х класів за темою: "Показникові рівняння"

Методи розв’язання показникових рівнянь:

Розв’яжи за зразком:

1) Зведення степенів до однакової основи:

                  а)    .

Розв’язання:  ;

                          х² –х = 2;        

                          х² – х – 2 = 0;

                          х₁ = 2; х₂ = -1.

Відповідь: -1; 2

                  б)    2^х 5^х+2 = 2500.

Розв’язання: Так як 5^х+2 = 5^х 5²   і 2^х5^х = 10^х, то

                        10^х 25 = 2500;

                        10^х = 100;       10^х = 10²;

                         х =2.

Відповідь: 2

                                    .

2) Винесення спільного множника за дужки:

2^х-1 + 2^х+2 = 36.

Розв’язання: Так як 2^х+2 = 2^х-1 2³, то

2^х-1 ( 1 + 2³ ) = 36;

                         2^х-1 9 = 36;

                         2^х-1 = 4;      2^х-1 =2²;

                         х-1 = 2;       х = 3.

Відповідь: 3.

5^х – 5^х-2 = 600.

3) Введення нової змінної:

4^х + 2^х+1 – 24 = 0.

Розв’язання:

Так як 4^х = (2²)^х = (2^х)²  = і 2^х+1 =2^х 2, то

                      (2^х)²  + 2^х 2 – 24 = 0;

Замінемо  2^х = а, тоді маємо рівняння:

                          а² + 2а – 24 = 0;

                          а₁ = 4; а₂ = -6.

Повертаючись до заміни, маємо:

2^х = 4;             або                2^х = -6;

х = 2,                                немає коренів

Відповідь: 2.

25^х + 105^х-1 -3 = 0.

4) Зведення до однорідного рівняння:

                 63^2х -136^х + 62^2х = 0.

Розв’язання: Так як 6^х = 3^х 2^х, то маємо:

 63^2х -133^х2^х + 62^2х = 0.

Розділимо обидві частини рівняння на 2^2х :

;

Замінемо , тоді а²  -13а + 6 = 0;

а₁ = ;                          а₂ = ;

Повертаючись до заміни, маємо:

      або    ;

х₁ = 1;                            х₂ = -1.

Відповідь: -1; 1.

4^х + 10^х = 225^х.

(9 б)   В - 1

(9 б)   В - 2

Розв’яжіть рівняння:

а) 64*;

 б) 4^х + 2*2^х -80 =0;

в) 2^х – 2^{х - 4} = 15;        

г);

д) .

Розв’яжіть рівняння:

а) ; 

б) 7^2х - 6*7^х + 5 =0;

в) 2^х+3 – 2^х  = 112;  

г)3^{0,5(х – 5)} = 3.

д) .

(12б)  В - 3

(12б)  В - 4

Розв’яжіть рівняння:

а) ;

б) 6^х  + 6^х+1 = 2^х + 2^х+1 + 2 ^х+2 ;

в) 10^1+х – 10^1-х = 99 ;

г) 6^2х+4 = 2^х+8 3^3х.

Розв’яжіть рівняння:

а) ;

б) 3^х-1  + 3^х + 3^х+1 = 12^х-1 + 12^х ;

в) 5^1+х – 5^1-х = 24 ;

г) 20^3х+2 = 4^х+12 5^5х-8.