Тема: Показникова функція, її графік і властивості.

11 клас алгебра

 ^{[ дата ]}

Тема:  Показникова функція,  її  графік і властивості.

 

Мета:

• Навчальна: засвоїти означення показникової функції, властивості показникової функції, навчитися будувати графіки показникової функції; засвоїти властивості степенів з дійсним показником на основі властивості степенів з раціональним показником;

• Розвиваюча: розвивати вміння аналізувати графіки показникової функції та користуючись побудованими графіками аналізувати властивості показникової функції;
• Виховна: виховувати інтерес до вивчення точних наук, показати, де саме застосовують у житті властивості показникової функції;

Компетенції:

• Спілкування державною мовою (уміння ставити запитання і розпізнавати проблему; міркувати, робити висновки на основі інформації, поданої в науковій презентації)

Тип уроку: засвоєння нових знань;

Обладнання: опорний конспект, навчальна презентація, мультимедійне обладнання, презентер;

 

Хід уроку

1. Організаційний етап

• Привітання
• Перевірка присутніх на уроці
• Налаштування на роботу

 

2. Актуалізація опорних знань

 

 

3. Вивчення нового матеріалу

 

• Показникова функція

Функція виду називається показниковою.

Наприклад:

 

 

Побудуємо для деяких цілих значень.

 

 

 

 

Тепер на цьому ж графіку добудуємо деякі дробові значення функції

 

 

 

 

 

 

 

Якщо побудуємо всі значення з множини , то отримаємо графік показникової функції (можливий інший запис, наприклад: ).

 

*Кожна точка цього графіка є степенем числа 2 з дійсним показником .

 

 

 

• Чи існує функція при

 

 

 

 

 

• Існує, але це вже буде не показникова функція. Графіком такої функції є пряма.

 

 

 

 

 

 

• Чи може отриманий графік показникової функції перетнути вісь абсцис?

 

• Ні, навіть якщо ми візьмемо від’ємний показник степеня, то завжди отримаємо додатне значення

Отже, вісь є асимптотою цього графіка.

 

*Асимпто́такриво́ї (грец. ασυμπτωτος — що не збігається, не дотикається) — це пряма, до якої крива при віддаленні в нескінченність наближається як завгодно близько.

 

Проаналізуємо графіки показникової функції при і :

 

 

• Що можемо сказати про ці функції на перший погляд?

(при функція зростаюча, при функція спадна)

 

 

 

 

 

 

 

 

Побудуємо деякі графіки функцій при і

 

 

 

Чим більшою є основа , тим крутіше «піднімається» графік функції , якщо рухатися вправо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чим меншою є основа, тим крутіше «піднімається» графік функції , якщо точка рухається вліво.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• Пригадаємо властивості степеня з раціональним показником.

 

 

 

Всі ці властивості справедливі для а та будь-яких дійсних

 

 

 

 

• Властивості показникової функції

1. (Областю визначення показникової функції є множина дійсних чисел)

 

2. (Областю значень показникової функції є множина )

 

3. при всіх значеннях (Показникова функція немає нулів, і проміжок є проміжком її знакосталості)

 

4. При зростаюча (При зростає на всій області визначення)

При спадна(При спадає на всій області визначення)

 

• Цікаво

Розглянемо графіки показникових функцій .

У них кутовий коефіцієнт дотичної проведеної в точці до графіка менший за одиницю або більший за одиницю.

• Чи існує така показникова функція, щоб кутовий коефіцієнт дотичної до її графіка в т. дорівнював 1?

 

 

 

Якщо за основу показникової функції взяти ірраціональне число 

 

Така показникова функція називається експонентою.

 

 

 

 

 

• Чому графік кожної показникової функції обов’язково проходить через точку ?

 

 

• Процеси, що описує показникова функція

Показникова функція описує значну кількість процесів, що відбуваються в природі. Наприклад, зростання кількості бактерій за сприятливих для них умов існування можна описати за законом ().

 

 

 

• Як людина використовує ріст і розмноження бактерій?

(Виробництво антибіотиків, кисломолочних продуктів, виноробство, медицина)

 

 

• Зростання кількості деревини можна порахувати за законом ()

 

• Зменшення маси речовини під час радіоактивного розпаду відбувається за законом ( – початкова маса речовини, – маса в момент часу , – період напіврозпаду речовини (час розпаду половини атомів заданої речовини))

 

• Зменшення тиску повітря з висотоювідбувається за законом ( – тиск на рівні моря, – тиск на висоті , - сталі)

 

4. Закріплення нових знань та вмінь учнів

№1

Яка з даних функцій є показниковою:

 

№2

Ґрунтуючись на які властивості показникової функції можна стверджувати, що:

?

 

Відповідь: При показникова функція є зростаючою, при – спадною.

№3

Побудуйте графік функції . У яких межах змінюється значення функції, коли зростає від до включно?

 

Розв’язок:

 

 

 

Відповідь: значення функції змінюється від до .

№4

Порівняйте:

 

 

№5

Обчисліть значення виразу:

1. 

Розв’язок:

 

2. 

Розв’язок:

 

3. 

Розв’язок:

 

4. 

Розв’язок:

№6

Чи є правильним твердження:

1. Найбільше значення функції на проміжку дорівнює 5;

Розв’язок:

– спадна

На проміжку її найбільшим значенням буде , отже твердження правильне.

 

2. Областю визначення функції є множина дійсних чисел;

Розв’язок:

Твердження правильне, за означенням показникової функції.

 

3. Областю значень функції є проміжок

Розв’язок:

Твердження не правильне.

 

4. Найменше значення функції на проміжку дорівнює 16

Розв’язок:

Твердження не правильне.

 

№7

На якому проміжку найбільше значення функції дорівнює 16, а найменше дорівює

Розв’язок:

 

 

Відповідь:

№8

Графік якої з функцій, зображених на рисунках, перетинає графік функції більше ніж в одній точці?

 

5. Підсумок уроку

• Яку функцію називають показниковою?
• Чи може показникова функція перетнути вісь абсцис?
• Які властивості має степінь з дійсним показником?
• Зобразіть схематично графік функції при ; при
• Через яку точку проходять всі графіки всіх показникових функцій?
• Користуючись побудованими графіками показникових функцій, охарактеризуйте всі їх властивості
• Що називають експонентою?
• Яку цікаву особливість має експонента?
• За якої умови показникова функція зростає? А за якої – спадає?
• Чи може значення показникової функції бути від’ємним?
• Чи може значення показникової функції дорівнювати нулю?

 

6. Домашнє завдання

Опрацювати §1 Виконати № 8; 23; 27(в); 31;

Бевз Г.П.