Розробка уроку алгебри в 7 класі «Функція як математична модель реальних процесів»

Розробка уроку алгебри в 7 класі

«Функція  як математична модель реальних процесів»

Мета:

Навчальна: математична компетентність: сформувати уявлення про функцію як математичну модель реальних процесів; сформувати вміння задавати формулами залежності, які відображають реальні процеси та будувати графіки таких залежностей;

  економічна компетентність: сформувати поняття учнів про попит та пропозицію на ринку; ознайомити з дією законів попиту та пропозиції; продемонструвати дію цих законів за допомогою графіка попиту та пропозиції;

розвивальна: пізнавальна компетентність: сприяти розвитку математичного та економічного мислення, уваги учнів, впевненості у своїх силах, відчутті успіху під час навчання, навичок самоконтролю та взаємоконтролю;

 виховна: громадянська компетентність: виховувати творче ставлення до справи, наполегливість у досягненні мети, відповідальність та самостійність.

Тип уроку: засвоєння знань, умінь, навичок

Вид уроку: урок – гра

Обладнання: підручник,  картки із завданнями, мультимедійний комплекс

Хід уроку

І. Організаційний етап

    Учитель. Я сьогодні пропоную вам поринути у захоплюючий світ, в якому тісно переплітаються і доповнюють одна одну дві науки, що завжди присутні в нашому повсякденному житті – це математика та економіка. Всі ми знаємо, що без математики ми не  обходимося жодного дня. У господарстві потрібно щось порахувати, обчислити, виміряти, а це і є математика. Економіка теж поряд з нами, тому, що господарством потрібно управляти, а економіка – це мистецтво управляння господарством. Отож, сьогодні на уроці ми поєднаємо ці дві науки для вивчення нашої теми і прослідкуємо їх взаємозв’язок.

ІІ.  Актуалізація опорних знань

Запитання для фронтальної бесіди

1) Що таке функція? (Відповідність, при якій кожному значенню

 однієї змінної відповідає єдине значення другої)

   2)  Чи залежить периметр квадрата від довжини його сторін. ( Так, залежить: із збільшенням довжини – периметр збільшується, із зменшенням довжини – зменшується)

        3) Знайдіть периметр Р квадрата зі стороною 3 см; 4,5 см; а см.

          (Формула периметра квадрата:  Р = 4а,   Р = 4 х 3 = 12 см,

            Р = 4 х 4,5 = 18 см, Р = 4 х а= 4а см)

        4) Що таке аргумент функції? (Незалежна змінна функції)

        5) Сторони прямокутника дорівнюють 3 см і х см:

    а) виразіть формулою залежність периметра Р від х; ( Р(х) = 4х

    б) знайдіть значення Р, якщо х = 5 см; (Р =2 х ( а + в) = 2 х (3 + 5) =16 см)

    в) чи можна знайти ще одне значення Р при тому ж самому значенні х?  (Ні)

        6) Наведіть інші приклади залежності однієї величини від другої.  

         (Площа прямокутника і його ширина; шлях, який проїхав автомобіль і  

         його  швидкість)

        7) Що таке область визначення та область значень функції?

          (Усі значення, яких може набувати аргумент функції)

1. Що таке графік функції? (Множина всіх точок координатної     площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу,

     ординати – відповідним значенням функції)

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності

   Учитель. Функція – одне з найважливіших понять математики. З їх допомогою можна вивчати і досліджувати різноманітні явища і процеси, які відбуваються навколо нас.

   Коли росте дитина, змінюється її ріст, об’єм, маса; коли злітає літак, змінюється його швидкість, відстань від поверхні землі, маса пального в баках. Функції використовуються в різних галузях народного господарства. Так, наприклад, економісти досліджують економічні процеси, що відбуваються на ринку. І таких процесів є мільярди. Функція є математичною моделлю реальних процесів.

   Існують прилади, які самостійно викреслюють графіки функцій: барографи, термографи, кардіографи, тощо. Наприклад, кардіограф креслить графік-кардіограму, який характеризує роботу серця. Фахівцям потрібно вміти читати такі графіки. Отож, вперед за знаннями!

ІV. Вивчення нового матеріалу

   Учитель. У житті ми часто стикаємося із залежностями між різними величинами. Ми вже з вами з’ясували, що периметр квадрата залежить від довжини його сторони, площа прямокутника – від його вимірів. Економісти досліджують залежність кількості виробництва продукції від продуктивності праці працівників, розмір заробітної плати від кількості відпрацьованих годин, якщо вона погодинна, тощо. Оскільки, вивчення математики ми поєднуємо з пізнанням основ економіки, то сьогодні на уроці  розглянемо залежність величини попиту товару та залежність пропозиції товару від його ціни.

Уявимо, що хтось із вас (обираємо 2 учні) маркетологи фірми, яка виробляє спортивне взуття. Вам необхідно визначити попит на кросівки нової української фірми «Прогрес» серед учнів вашого класу ( споживачі).

 Маркетологи демонструють експериментальний зразок та розповідають про їх переваги і ставлять запитання:

• Хто бажає придбати цей товар?

   Учитель. Звичайно, кожен покупець (споживач) при виборі товару враховує чи він йому потрібний. Отже, будь-який товар має свою корисність (здатність задовольняти потребу споживача). Тому відповідь маркетологи отримають з огляду на корисність саме цих кросівок для даних споживачів. Але споживчий вибір визначається не тільки корисністю, він завжди обмежений доходом. Тому друге запитання маркетологів до тих, хто хоче придбати кросівки, буде таким:

• Хто може їх придбати за ціною, скажімо, 35 грн.?

   Учитель. Для ринкових процесів значення мають лише ті потреби людей, які можуть бути підкріплені грошовими сумами. Отже, попитом називають ту кількість товарів та послуг, яку хочуть і можуть придбати покупці за певного рівня цін у визначений період часу. Якщо маркетологи визначили, що за ціною 35 грн. ці кросівки готові купити сьогодні 10 людей (споживачів), тим самим вони визначили величину попиту.

Величина попиту – конкретна кількість товару, яку хочуть і можуть придбати покупці за конкретною ціною саме тепер.

Повідомлення маркетологів:   фірма може змінювати ціну в діапазоні від 25 до 45 грн.. Наприклад, із 30 покупців, котрі бажають купити кросівки, 5 мають 40 грн., 5 – 35 грн., 10 – 30 грн., 5 – 25 грн. і 5 – 20 грн. Складемо шкалу попиту, що показує відповідність величини попиту (Q) кожній можливій ціні (Р).

   Учитель Попит завжди обмежений найвищою ціною. За ціною 40 грн. зможуть купити лише 5 покупців, але якщо ціну зменшити до 35 грн., ті самі 5 покупців придбають товар за меншою ціною, до того ж до них приєднаються ще 5 покупців, котрі мають по 35 грн. отже, на основі отриманих даних будуємо шкалу (маркетологи будують шкалу на дошці, споживачі – у зошитах)

Учитель. Для кожної ціни ми маємо певну величину попиту. Тобто, одержали декілька значень Q від Р. Отже, попит – це функція, що визначає залежність кількості покупок, які покупці готові зробити, від рівня цін на  товари. За отриманими даними будуємо графік даної функції. Згідно з загальноприйнятими правилами, ціна (Р) завжди відкладається по осі ОУ, а величина попиту (Q) – по осі ОХ (маркетологи будують графік на дошці, споживачі – у зошитах)

   Учитель. Ми одержали графік попиту, який відображає результати роботи наших маркетологів по продажі кросівок. Даний графік ілюструє закон попиту: із збільшенням ціни попит зменшується, із зменшенням ціни попит збільшується. Отже, величина попиту перебуває у зворотній залежності від ціни.

    Щоб розв’язати задачу практичного змісту, необхідно спочатку створити її математичну модель, тобто записати залежність між відомими і невідомими величинами за допомогою математичних понять, відношень, формул, рівнянь, тощо.

Приклад 1. Функція попиту на товар має вигляд  Q = 8 – Р. Складіть таблицю значень функції, якщо ціна змінюється від 1грн. до 7 грн.

Розв’язання.  Величина попиту (Q) – це залежна величина, тобто, функція, ціна товару (Р) – аргумент.

   Учитель. На ринку завжди є продавець і покупець. Продавець пропонує товар для продажу, покупець прагне купити товар за меншою ціною і ми це вже дослідили. Що стосується продавця, то він хоче продати товар за найвищою ціною: чим вища ціна на товар, тим більше продавець його пропонує. Отже, пропозиція – це також функція, яка визначає залежність обсягу пропонованого товару від його ціни. Тобто величина пропозиції перебуває в прямій залежності від ціни на товар.

Приклад 2. Функція пропозиції має вигляд  Q = 2Р – 13. Складіть таблицю значень заданої функції для значень аргументу:  60, 55, 43, 28, 15.

Розв’язання.  Величина пропозиції (Q) – це залежна величина, тобто, функція, ціна товару (Р) – аргумент.

   Учитель. Отже, як бачимо: чим ціна більша, тим більша кількість товару, яка пропонується для продажу.

Фізкультхвилинка (супроводжується музикою)

Всі піднесли руки - раз,

І навшпиньки став весь клас.

Два – присіли, руки вниз.

На сусіда не дивись.

Будем дружно ми вставати,

Щоб ногам роботу дати.

Хто старався присідати –

Може вже відпочивати.

Нахились вперед, нахились назад.

 І направо, і наліво,

Щоб нічого не боліло.

Один, два, три, чотири –

набираємося сили,

Нахились, повернись

І до друга посміхнись

V. Засвоєння нових знань і вмінь

   Учитель. Застосуємо, отримані знання до розв’язування вправ.

( За бажанням учнів одні виконують роль маркетологів, інші – споживачі або продавці в залежності від умови задачі)

Задача 1. Функція попиту має вигляд  Q = 150 - 2Р. Складіть таблицю значень заданої функції для значень аргументу:  18, 27, 34, 52, 73.

Розв’язання.

Задача 2. Функцію попиту задано формулою Q = 400 - Р. Заповніть порожні комірки таблиці.

Розв’язання.

Задача 3. Функцію пропозиції задано формулою Q = 4Р + 25 . Заповніть порожні комірки таблиці.

Розв’язання.

Задача 4. Оксана зареєструвалася як приватний підприємець і вирішила продавати чебуреки власного виробництва. На початку своєї діяльності вона  продавала 350 чебуреків у день. Але із зростанням цін на сировину (мука, м'ясо), зростала ціна і на чебуреки. Оксана помітила, що зростання ціни у 2 рази, приводить до втрати продажу двох одиниць продукції.

1. Задайте формулою залежність величини попиту (Q) на чебуреки від їх ціни (Р).
2. Знайдіть значення Q , що відповідає значенню аргументу Р = 26; 30; 35.
3. Знайдіть значення Р, яким відповідає Q = 342

Розв’язання.

1. Оскільки, початкова величина продажу становить 350 чебуреків, а із зміною ціни у 2 рази спостерігається зміна продажу на 2 одиниці, то залежність можна виразити формулою: Q = 350 - 2Р.

2. Р = 26 грн.,  Q = 350 - 2Р = 350 – 2 х 26 = 350 – 52 = 298 (шт.)

     Р = 30 грн.,  Q = 350 - 2Р = 350 – 60 = 290 (шт.)

          Р = 35 грн.,  Q = 350 - 2Р = 350 – 70 = 280 (шт.)

      3) Q = 342 шт.,  Q = 350 - 2Р

                                 342 = 350 – 2Р

                                  2Р = 350 – 342

                                  2Р = 8

                                  Р = 4

VІ. Підсумки уроку

Учитель. Ми сьогодні гарно працювали. На реальних прикладах переконалися, що функція має практичне застосування у будь-якій сфері людського життя.  Удосконалили свої математичні знання про функцію, з’ясували поняття необхідних економічних термінів і використали їх для дослідження економічних процесів.  

Рефлексія

Учитель. У вас на партах лежать смайлики. Підніміть той, який відповідає вашій оцінці знань за урок:

               - я знаю, що знаю все;

               - я знаю, що чогось не знаю;

               - я знаю, що нічого не знаю.

VІІ. Домашнє завдання

Завдання за підручником  § 19  № 721, 735.