розробка уроку на тему "Теорема косинусів."

Про матеріал
Тема уроку. Теорема косинусів. Мета уроку: вивчення теореми косинусів. Формування вмінь учнів застосовувати теорему косинусів до розв'язування задач.
Перегляд файлу

 

УРОК № 4

Тема уроку. Теорема косинусів.

Мета уроку: вивчення теореми косинусів. Формування вмінь учнів застосовувати теорему косинусів до розв'язування задач.

Тип уроку:  комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Співвідношення між сторонами і кутами трикутника»[13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: формулюють теорему косинусів та доводять її.

Хід уроку

I. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відпо­вісти на запитання, які виникли в учнів у ході їх розв'язування.

 

ІІ. Аналіз результатів самостійної роботи

 

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності

Ми приступаємо до вивчення теми «Розв'язування трикутників».

Розв'язати трикутник означає знайти відомі елементи трикут­ника (сторони, кути) за даними відомими елементами. У 8-му кла­сі ви вже навчилися розв'язувати прямокутні трикутники. Прямо­кутний трикутник визначається за двома елементами, серед яких є хоча б один лінійний елемент (сторона). Ви вмієте знаходити невідомі елементи прямокутного трикутника, якщо дано: катет і гіпотенузу; гіпотенузу і гострий кут; катет і прилеглий гострий кут; катет і протилежний гострий кут.

Щоб розв'язати довільний (не прямокутний) трикутник, треба знати три елементи, серед яких має бути хоча б один лі­нійний.

Зараз ви ознайомитеся з теоремою, яка дозволяє за двома сторонами і кутом між ними знаходити третю сторону, невідомі кути трикутника. Ця теорема називається теоремою коси­нусів.

 

IV. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Вивчення теореми косинусів

Сформулюємо теорему та ознайомимо з її доведенням учнів.

Теорема. Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Доведення

Нехай задано трикутник ABC, доведемо, що

а2 = b2 + с2 2bc cosα, де а = ВС, b = AC, с = АВ, A = α.

Розглянемо три випадки: якщо кут А є гострим, тупим і пря­мим.

1-й випадок

Якщо кут А гострий (рис. 8), то проведемо висоту BD і розглянемо пря­мокутний трикутник BDC. У ньому ВС2 = DC2 + BD2 або a2 = (bb1)2 + h2.              (1)

Виразимо b1 і h через основні елементи трикутника ABC. Із трикутника ABD миємо: h = csinα, b1 = ccosα. Замінивши h і b1 у виразі (1) їх значеннями, знай­демо:

a2 = (b ccosα)2 + с2sin2α = b2 2bccosα + с2cos2α + c2sin2α =

= b2 2bccosα + c2(sin2α + cos2α) = b2 – 2bccosα + c2 · 1 = b2 + c2 – 2bccosα.

Отже, a2 = b2 + c2 – 2bccosα, що і треба було довести.

2-й випадок

Нехай кут А тупий (рис. 9). Із вершини В проведемо висоту BD на продовження сторони АС. Із прямокутного трикутника BDC маємо:

BC2 = BD2 + DC2 або a2 = h2 + (b + b1)2. (2)

Значення h і b1 виразимо через основні елементи трикутни­ка ABC. Із трикутника ABD маємо: h = csin(180°- α) = csinα, b1 = ccos(180° - α) = -ccosα. Замінивши h і b1 у виразі (2) їх значен­нями, після деяких перетворень маємо:

a2 = c2sin2α + (bccosα) = с2sin2α + b2 – 2bccosα + c2cos2α = (c2sin2α +           + c2cos2α) + b2 2bccosα = c2(sin2α + cos2α) + b2 2bccosα = b2 + c2 – 2bccosα.

Отже, a2 = b2 + c2 – 2bccosα, що і треба було довести.

3-й випадок

Нехай кут А прямий, α = 90° (рис. 10). У цьому випадку cosα = cos 90° = 0, отже, маємо:

b2 + c2 – 2bccosα = b2 + c2 – 2bc · 0 = b2 + с2. (3)

  

Але за теоремою Піфагора маємо: b2 + с2 = а2. (4)

Порівнявши вирази (3) і (4), отримаємо: a2 = b2 + c2 – 2bccosα. Теорему, доведено.

Теорему косинусів іноді називають узагальненою теоремою Піфагора. Така назва пояснюється тим, що в теоремі косинусів міститься як частковий випадок теорема Піфагора. Справді, якщо в трикутнику ABC кут А прямий, то cos A =   = cos 90° = 0, і за теоремою косинусів одержуємо а2 = b2 + с2, тобто квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Розв'язування задач

При розв'язуванні цих задач слід домовитися, що сторони трикутника позначатимемо буквами a, b, с, а протилежні їм кути (при вершинах А, В, С) — грецькими літерами α, β, γ. Слід також згадати значення тригонометричних функцій деяких кутів (табл. 1), зазначивши, що синуси суміжних кутів рівні, а коси­нуси суміжних кутів — протилежні числа: sin(180°- α) = sinα, cos(180°- α) = = -cosα. Розв'яжемо такі задачі.

  1. Дві сторони трикутника дорівнюють см і 1 см, а кут між ними 30°. Знайдіть третю сторону трикутника. (Відповідь. 1 см.)
  2. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо дві інші сторони до­рівнюють 1 см і см і утворюють кут 135°. (Відповідь. 5 см.)

 

V. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв'язування задач

  1. Сторони трикутника дорівнюють 1 см, 3 см і 5 см. Знай­діть кут, який лежить проти найбільшої сторони.

Розв'язання

Нехай у трикутнику ABC а = 1 см, b = 3 см, с = 5 см. За теоремою косинусів маємо: с2 = b2+ a22bacosγ, тоді 52 = 12 + – 2 · 1 · 3cosγ;   25 = 19 – 6cosγ; 6cosγ = - 6; cosγ = = = ;

тоді γ = 180° - 45° = 135°.

Відповідь. 135°.

  1. Дві сторони трикутника а і с дорівнюють 5 см і 7 см, а кут γ дорівнює 60°. Знайдіть сторону b.

Розв'язання

За теорему косинусів маємо:

с2 = а2 + b2 2abcosγ, або 72 = 52 + b2 2 · 5 ·  bcos60°,

звідси 49 = 25 + b2 5b, або b2 5b 24 = 0. Роз­в'язавши рівняння, одержимо b1 = 8; b2 = -3. Оскільки b > 0, то значення b2 не задовольняє умову задачі.

Відповідь. 8 см.

  1. У трикутнику дві сторони дорівнюють 5 м і 6 м, а синус кута між ними дорівнює 0,6. Знайдіть третю сторону.

Розв'язання

Нехай а = 5 м, b = 6 м, sinγ = 0,6. Оскільки sin2γ + cos2γ = 1, то 0,36 + cos2γ = = 1, cos2γ = 0,64 і cosγ = ±0,8.

1-й випадок:

cosγ = 0,8. Тоді с2 = а2 + b2 – 2abcosγ = 25 + 36 – 2 · 5 · 6 · 0,8 = 61 48 = 13; с = м.

2-й випадок:

cosγ = -0,8. Тоді с2 = а2 + b2 – 2abcosγ = 25 + 36 + 2 · 5 · 6 · 0,8 = 61 + 48 = 109; с = м.

Відповідь. м або м.

 

VI. Домашнє завдання

  1. Вивчити теорему косинусів.
  2. Розв'язати задачу.

Сторони трикутника дорівнюють 5 м, 6 м і 7 м. Знайдіть косинуси кутів трикутника.

 

VII. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

  1. Сформулюйте теорему косинусів.
  2. Знайдіть невідому сторону трикутника (рис. 11).

 

Ро

doc
Пов’язані теми
Геометрія, Розробки уроків
Додано
9 грудня 2019
Переглядів
100
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку