Розробка уроку на тему "Теорема синусів"

Про матеріал
Тема уроку. Теорема синусів. Мета уроку: вивчення теореми синусів. Формування вмінь учнів застосовувати вивчену теорему до розв'язування задач.
Перегляд файлу

 

 

Тема уроку. Теорема синусів.

Мета уроку: вивчення теореми синусів. Формування вмінь учнів застосовувати вивчену теорему до розв'язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Співвідношення між сторонами і кутами трикутника» [13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: формулюють теорему синусів та доводять її.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити правильність виконання домашніх завдань за за­писами з пропусками.

Колективно обговорюється хід розв'язування задач і впису­ються відповідні символи (записи). Там, де стоїть знак (?), необ­хідно пояснити, зробити посилання на відповідні теореми.

  1. Нехай АС = с, BD = d, AOB = α (рис. 21). Оскільки ABCD
    паралелограм, то АО = ..., ВО = ... (?).

За теоремою косинусів:

АВ2 = АО2 + ВО2 – 2АО ∙ ВОcosAOB = ... + ... - ... .

BOC = 180° - α (?).

ВС2 = ВО2 + СО2 – 2ВО ∙ CO cosBOC = ... + ... - ... .

Відповідь. , .

  1. Нехай АВ = 5 м, ВС = 6 м, АС = 7 м (рис. 22). АВRC — пара­лелограм. (?)

AR2 + BC2 = 2(AB2 + AC2) (?)  4АМ2 = - 36 + 2(25 + 49) (?)

АМ2 = ..., АМ = ....   АРВС — паралелограм. (?)

4СK2 + АВ2 = 2(AC2 + BC2) (?) СК2 = ..., СК = ....

ABCS — паралелограм. (?)  4BN2 + ... = 2(... + ...).

ВМ2 = ..., ВМ = ....

Відповідь. м, 2 м, м.

  

 

Самостійна робота

Варіант  1

  1. У трикутнику один із кутів становить 60°, а сторони, при­леглі до нього, дорівнюють a і b. Знайдіть третю сторону трикутника.

(4 бали)

  1. Сторони паралелограма дорівнюють 32 см і 10 см, а кут між ними становить 120°. Знайдіть діагоналі паралелограма.

(4 бали)

  1. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо вони відносяться як 3 : 5, а довжини сторін дорівнюють 8 см і 19 см.

(4 бали)

Варіант  2

  1. У трикутнику дві сторони дорівнюють a і b, а кут між ними
    становить 120°. Знайдіть третю сторону трикутника.

(4 бали)

  1. Діагоналі паралелограма дорівнюють 32 см і 10 см, а кут між ними становить 60°. Знайдіть сторони паралелограма.

(4 бали)

  1. Сторони паралелограма відносяться як 1 : 2. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його діагоналі дорівнюють 18 см і 26 см.

(4 бали)

Відповіді до завдань самостійної роботи

Варіант 1. 1. a2 + b2 ab. 2. 38 см і 2см. 3. 15 см і 25 см.

Варіант 2. 1. a2 + b2 + ab. 2. 19 см і см. 3. 10 см і 20 см.

 

II. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Вивчення теореми синусів

Наводимо пояснення теореми синусів.

Розглянемо прямокутний трикутник ABC (рис. 23).

Відомо, що а = c sinA, b = c sinB, звідси , . Тоді . Ураховуючи, що C = 90° і sinC = 1, запишемо:

.

Якщо описати коло радіуса R навколо прямокутного три­кутника ABC (рис. 24), то одержимо: .

  

Отже, у прямокутному трикутнику сторони пропорційні до си­нусів протилежних кутів.

А чи є це твердження правильним для будь-якого трикутника?

Спочатку з'ясуємо співвідношення між діаметром кола, сто­роною вписаного в нього трикутника і кутом трикутника, проти­лежним цій стороні.

Нехай у трикутнику ABC кут А гострий, ВС = а (рис. 25). Проведемо діаметр BD, який дорівнює 2R, R — радіус описаного кола.

Сполучивши точки D і С, одержимо прямокутний три­кутник BDC, у якому ВС є катетом, і тому BC = BDsinD. Але D = А як вписані, що опираються на дугу ВС, і тому sinD = sinA.

Отже, a = 2RsinA.

Одержане співвідношення справджується й тоді, коли кут А тупий (рис. 26), оскільки A + D = 180°. Тоді D = 180° - A і sinD = sin(180°- А). Таким чином, а = ВС = BDsinD = 2RsinD = 2RsinA.

Отже, завжди a = 2RsinA.

  

Аналогічно переконуємося, що b = 2RsinB, c = 2RsinC. У кожній із трьох останніх рівностей виразимо відношення сторони до синуса протилежного кута:

; ; .

Отже, .

Таким чином, сторони трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів, відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, описаного навколо трикутника.

 

Розв'язування задач

  1. Сторона трикутника дорівнює 20 см, а протилежний кут ста­новить 150°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикут­ника. (Відповідь. 20 см.)
  2. Знайдіть сторону АВ трикутника ABC, якщо ВС = 2см, A = 45°,     C = 30°. (Відповідь. 2 см.)

 

III. Закріплення й осмислення вивченого матеріалу

 Колективне розв'язування задачі

1)  У трикутнику ABC АВ = 15 см, АС = 10 см. Чи може sinβ = ?

Розв'язання

Припустимо, що sinβ = . Тоді з рівності , враховуючи, що   АВ = 15 см, АС = 10 см, матимемо: . Звідси sinγ = 15 ∙ = > 1, що неможливо (бо sinγ < 1).

Отже, sinβ не може дорівнювати .

Відповідь. Не може дорівнювати.

2)  У трикутнику задано дві сторони а = 27, b = 9 і кут, проти­лежний до однієї із сторін, α = 138°. Знайдіть два інші кути і третю сторону трикутника.

Розв'язання

; ; ;       β 13°. Тоді γ = 180° - α - β 180° - 138° - 13° = 29°.

; ; .

Відповідь. β 13°, γ 29°, с 19,6.

 

Задачі для індивідуального розв'язування

  1. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює а, а кут при основі дорівнює 2β. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену до бічної сторони.

Відповідь. .

  1. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює с, а один із гострих кутів дорівнює α. Знайдіть бісектрису прямого кута.

Відповідь. .

  1. Доведіть, що сторона трикутника, яка лежить проти кута в 30°, дорівнює радіусу кола, описаного навколо цього три­кутника.
  2. Доведіть, що бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, що обернено пропорційні синусам при­леглих до цієї сторони кутів.

Доведення

Нехай у трикутнику ABC (рис. 27) BD — бісектриса і ABD = DBC = x.

Із трикутника ABD за теоремою синусів маємо: . (1)

Із трикутника BDC за теоремою синусів маємо: . (2)

Розділивши рівність (1) на рівність (2), одержимо , що й треба було довести.

 

IV. Домашнє завдання

  1. Вивчити теорему синусів.
  2. Розв'язати задачу.

У трикутнику дано дві сторони і кут, протилежний до однієї із сторін. Знайдіть інші два кути і третю сторону трикутника, якщо:

а) а = 12, b = 5, α = 120°;  б) а = 34, b = 12, α = 164°.

 

V. Підбиття підсумків уроку

Завдання до класу

  1. Сформулюйте теорему синусів.
  2. У трикутнику ABC (рис. 28) сторони дорівнюють a, b, c, a кути дорівнюють α, β, γ. Навколо цього трикутника описане коло радіуса R. Які з наведених тверджень є правильними, а які — неправильними?

a) b = 2Rsinα;     б) ;     в) ;   г) .

  

Ро

doc
Пов’язані теми
Геометрія, Розробки уроків
Додано
3 січня
Переглядів
58
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку