Розробка уроку на тему "Тригонометричні тотожності"

Тема. Тригонометричні тотожності

Мета: домогтися засвоєння учнями означень синуса, косинуса, тан­генса і котангенса гострого кута прямокутного трикутника та їх влас­тивостей; розглянути тригонометричну тотожність та наслідок із неї; формувати вміння перетворювати тригонометричні вирази за допомо­гою тригонометричних тотожностей.

Тип уроку: засвоєння вмінь та навичок.

Наочність та обладнання: конспект 21.

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

Розв'язання письмових завдань домашньої роботи перевіряється за готовими рисунками до домашніх задач.

Засвоєння змісту теорії, вивченої на попередньому уроці, прово­диться у формі математичного диктанту.

Математичний диктант

III. Формулювання мети і завдань уроку

Поштовхом до інтелектуальної діяльності учнів може слугувати за­пропоноване вчителем завдання.

Завдання. Виконайте зображення прямокутного трикутника з ка­тетами о, b і гіпотенузою с. Кути, протилежні катетам а і b, позначте відповідно α, β. Запишіть відношення, яким дорівнюють tgα та ctgα. Порівняйте записані відношення. Що ви помітили? Чи зміниться результат, якщо взяти інший прямокутний трикутник? Сформулюйте здобутий результат у вигляді твердження.

Мета запропонованого завдання — наочно продемонструвати учням існування певних залежностей між тригонометричними функціями деякого гострого кута. Далі вчитель наголошує на тому, що для інших тригонометричних функцій (крім тангенса і котангенса) одного й того самого кута також існують певні залежності; їх вивчення і становить основну мету уроку.

IV. Актуалізація опорних знань

З метою формування свідомого розуміння учнями змісту та схем доведення тригонометричних тотожностей учні мають повторити зміст теореми Піфагора, означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута прямокутного трикутника.

Виконання усних вправ

1. Закінчіть речення:

1. Якщо катети прямокутного трикутника дорівнюють 12 см і 9 см, то гіпотенуза дорівнює...
2. Якщо дві більші сторони прямокутного трикутника дорівнюють 17 і 15, то третя сторона дорівнює...
3. Якщо діагональ квадрата дорівнює 12 см, то сторона квадрата має довжину...
4. Якщо діагоналі ромба мають довжини 12 см і 16 см, то сторона ромба має довжину...

2. Виконайте завдання за готовими рисунками

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Теорема, що виражає основну тригонометричну тотожність.
2. Наслідок з основної тригонометричної тотожності.
3. Співвідношення для тангенса і котангенса одного й того самого го­строго кута прямокутного трикутника.
4. Приклади задач.

 Зміст нового матеріалу включає в себе формулювання і доведен­ня чотирьох основних тотожностей для тригонометричних функ­цій одного й того ж гострого кута.

Вивчення нового матеріалу проводимо відповідно до спосо­бу викладення його в підручнику, проте до наведеного в підручни­ку прикладу на застосування вивчених тотожностей для обчислення значень тригонометричних функцій бажано додати приклад на засто­сування вивчених формул для перетворення тригонометричних ви­разів (з демонстрацією прийому введення тригонометричної одини­ці). Перевірка розуміння учнями вивчених тотожностей проводить­ся за питаннями:

1.   Чи правильне твердження: сума квадратів синуса і косинуса гострого кута дорівнюють 1?
2.   Чи правильне твердження: добуток тангенса кута на котангенс кута дорівнює 1?
3.   Чи може синус і косинус деякого гострого кута дорівнювати відповідно: а) і ; б) і ; в) 1 і 0?
4.   Чи можуть тангенс і котангенс деякого гострого кута дорівнювати відповідно: а) і 2; б) - і - 3; в) 1 і 1?
5.   Які вирази слід дописати, щоб рівності стали тотожностями (α, β, γ ^— деякі гострі кути)?

;    sin² γ + ... = 1;    tg γ · ... = 1;    1 = ... ;   = ctg² α;

cos²(α + β) + ... = 1;  ;   1 – sin² β = ... ;

cos² β + sin² β – cos² α – sin² α = ...

VI. Формування первинних умінь

Виконання графічних вправ

Накресліть гострий кут. Позначте на різних сторонах кута дві точки і проведіть із них перпендикуляри до іншої сторони кута.

а) Виміряйте сторони прямокутних трикутників, що утворилися, та обчисліть двома способами синус і косинус побудованого кута. Порівняйте результати.

б) Обчисліть тангенс побудованого кута двома способами — за означенням та відповідною тригонометричною тотожністю. Порівняйте результати.

Виконання письмових вправ

1. Визначте, чи можуть синус і косинус одного кута відповідно дорівню-вати: а) і  ; б) і  .
2. Визначте, чи можуть тангенсі котангенс одного кута відповідно дорівнювати: а) 0,4 і 2,5;    б) 1,1 і 0,9;              в) + 2 і – 2.
3. Знайдіть:

a) sin α, якщо cos α = ;   б) cos α, якщо sin α = ; в) tg α, якщо sin α = .

4. Знайдіть значення тригонометричних функцій гострого кута А, якщо:

a) sin А = ; б) cos A = 0,28.

5. Спростіть вираз:

a) 1 – cos² α;  б) tg α cos α;  в) 1 + sin α + cos² α.

6. Спростіть вираз:

а)  ;   б) cos α – cos α sin² α; в) tg α ctg α – cos² α.

 Вправи, які слід виконати учням після вивчення нового матеріалу, спрямовані на закріплення знань формул, а також на формування вмінь використовувати вивчені формули під час розв'язування за­вдань таких типів: перевірка можливості існування кута з даними значеннями тригонометричних функцій, обчислення значень три­гонометричних функцій, застосування тотожностей для спрощен­ня тригонометричних виразів.

VII. Підсумки уроку

Чи правильні наведені рівності?

1) tg α · cos α = sin α; 2) 1 + cos² α – sin² α = 0;

3) ; 4) sin² α + cos² β = 1; 5) tg α · ctg β = 1.

VIII. Домашнє завдання

Вивчити зміст та доведення теореми про основну тригонометричну тотожність і наслідки з неї.

Розв'язати задачі.

1. Знайдіть tg α, якщо: а) sin α = ; б) cos α = .
2. Спростіть вираз: а) 1 – cos² α;   б) ; в) .
3. Знайдіть: а) ctg α, якщо sin α = 0,5; б) tg α, якщо cos α = .
4. Спростіть вираз:

а) ; б) sin α cos α ctg α + sin² α;  в) cos² α + tg² α cos² α.