Розробка уроку з алгебри для 11 класу «Розв’язування задач з теорії ймовірностей»

Розробка уроку з алгебри для 11 класу
«Розв’язування задач з теорії ймовірностей»

Мета: Сформувати вміння здобувачів освіти розв’язувати нестандартні задачі на знаходження ймовірності подій на основі класичного означення ймовірності, навчати застосовувати отримані знання на практиці, розвивати логічне мислення, виховувати негативне ставлення до асоціальних явищ, таких як азартні ігри, показати, що гральний бізнес не може бути використаний для збагачення.

Тип уроку: узагальнення і систематизація знань.

Обладнання: мультимедійний проектор, ноутбук.

Хід уроку

І. Організаційний етап

ІІ. Мотивація навчальної діяльності здобувачів освіти

1. Вступне слово вчителя:

У житті кожна людина повинна робити власний вибір. Перед вами стоїть важлива задача: не помилитися під час вибору варіанта відповіді при проходженні зовнішнього незалежного оцінювання. Відповідальний крок – вибір закладу вищої освіти, професії, спеціальності. Слід не помилитися у своєму виборі, розраховуючи свої шанси за допомогою теорії ймовірностей.

ІІІ. Актуалізація опорних знань здобувачів освіти

1. Перевірка домашнього завдання (робота в парах)
2. Фронтальне опитування:

а). Що вивчає Теорія ймовірностей?

б). Назвіть основні поняття теорії ймовірностей? Наведіть приклади.

в). Які види подій ви знаєте? Наведіть приклади.

г) Що називають випадковою подією? Як вона позначається?

д). Сформулюйте класичне означення ймовірності.

3. Розв’язування задач зовнішнього незалежного оцінювання з коментуванням:

а). У квадраті АBCD зі стороною а навмання вибирають точку O.
Яка ймовірність того, що кут AOB не перевищує кут 45°?

б). У квадрат зі стороною 5 км вписано круг. Яка ймовірність того,
що навмання вибрана точка квадрата опиниться в середині круга?

в). Петро і Павло кидають жовтий і синій гральні кубики і кожного разу підраховують суму очок , що випала. Вони домовилися , що у випадку, коли в черговій спробі в сумі випаде 8 очок, виграє Петро, а коли в сумі випаде 7 очок – виграє Павло. Чи є ця гра справедливою?

IV. Отримання нових знань і вмінь.

1. Формування мети і завдань уроку.

Історична довідка: Теорія ймовірності як самостійна наука виникла в середині XVII століття. В той час дуже були поширені азартні ігри, тобто ігри, в яких результат залежить лише від випадку. До таких ігор належать ігри з кубиками, гра в «орлянку», деякі карточні ігри. Зараз теорія ймовірностей має таке ж відношення до азартних ігор, як і геометрія до землевпорядкування. Розв’язування задач з теорією ймовірностей іноді приводить до таких фактів, в які складно повірити з першого погляду, але вірні з наукової точки зору. Саме з такими задачами ми будемо працювати сьогодні на уроці.

2. Робота з епізодом фільму „Двадцять одне”,

а) Постановка проблеми перед переглядом епізоду фільму „Двадцять одне”.

Розглянемо задачу, яку запропонував студентам хитрий професор Міт у фільмі «Двадцять одне», обираючи команду найкращих талановитих молодих математиків для участі в іграх у казино Лас-Вегасу.

б) Перегляд І епізоду кінофільму, де оголошується перша проблемна задача, яка називається задачею Монті Холла. Обговорення відеоматеріалу.

Класичне формулювання задачі звучить так: «Допустимо, будь-якому гравцю запропонували взяти участь у відомому американському телешоу «Let’s Make a Deal», яке веде Монти Холл, та йому необхідно обрати одну із трьох дверей. За двома дверима знаходяться самокати, за однією — головний приз, автомобіль. Ведучий знає місцезнаходження призів. Після того, як гравець робить свій вибір, ведучий відкриває одну з залишившихся дверей, за якою знаходиться самокат, і пропонує гравцю змінити свій вибір.

в) Постановка проблемного запитання: „Чи варто гравцю погодитися з професором Мітом? Чи краще зберегти свій перший вибір?”

3. Розв’язання проблеми через дискусію з учнями.

Узагальнююче слово вчителя: Як правило, учні міркують так: після того, як ведучий відкрив одну з дверей і показав самокат, гравцеві залишається вибрати між двома дверима. Машина знаходиться за однією з них, отже, ймовірність її вгадати становить ½. Тож немає різниці - міняти свій вибір чи ні. Однак, теорія ймовірностей говорить, що можна збільшити свої шанси на виграш, змінивши рішення.

Щоб розібратися, повернемося на крок назад. Коли ми зробили свій початковий вибір, ми розділили двері на дві частини: обрана нами і дві інші. Ймовірність того, що автомобіль знаходиться за обраними дверима, становить ⅓ - відповідно, автомобіль знаходиться за однією з двох, що залишилися дверей, з ймовірністю ⅔. Коли ведучий показує, що за однією з цих дверей - самокат, виходить, що ці ⅔ шансу припадають на другі двері. А це зводить вибір гравця до двох дверей, за однією з яких (спочатку обраної) автомобіль знаходиться з ймовірністю ⅓, а за іншою - з ймовірністю ⅔.

Перегляд ІІ епізоду кінофільму, наприкінці якого звучать заключні слова професора Міта: «Завдяки простій математиці він виграв новенький автомобіль!».

4. Постановка другого проблемного завдання. Чи є твердження професора вірним?
5. Розв’язання проблеми через дискусію. Висловлювання учнів про те, що зміна вибору не скасовує того факту, що з самого початку гравець може вибрати двері, за якими знаходиться автомобіль, а зміна вибору веде до втрати головного призу. Тому професор не правий, кажучи, що студент виграв новий автомобіль.

5.             Застосування учнями знань і способів дії

1. Розв’язання задачі „Парадокс: хлопчик та дівчинка”

Цей парадокс був запропонований математиком Мартином Гарднером і формулюється так: «Містер Сміт має двох дітей. Хоча б один з них – хлопчик. Яка ймовірність того, що і другий – також хлопчик?».

Здавалося б, завдання просте. Однак якщо почати розбиратися, виявляються цікаві обставини: правильна відповідь буде відрізнятися в залежності від того, яким чином ми будемо підраховувати ймовірність статі іншої дитини.

2. Учнями запропоновано декілька варіантів розв’язання задачі:

а) Варіант 1. Розглянемо всі можливі комбінації в сім'ях з двома дітьми:

- Дівчинка / Дівчинка  - Дівчинка /Хлопчик

- Хлопчик / Дівчинка  - Хлопчик / Хлопчик

Варіант дівчинка / дівчинка нам не підходить за умовами завдання. Тому для сім'ї містера Сміта можливі три рівноймовірні варіанти - а значить, ймовірність того, що інша дитина теж виявиться хлопчиком, становить ⅓. Саме таку відповідь і давав сам Гарднер спочатку.

б) Варіант 2. Уявімо, що ми зустрічаємо містера Сміта на вулиці, коли він гуляє з сином. Яка ймовірність того, що друга дитина - теж хлопчик? Оскільки стать другої дитини ніяк не залежить від статі першої, ймовірною (і правильною) відповіддю є ½.

3. Узагальнююче слово вчителя:

Чому так відбувається, адже нічого не змінилося? Все залежить від того, як ми підходимо до питання підрахунку ймовірності. У першому випадку ми розглядали всі можливі варіанти сім'ї Сміта. У другому - ми розглядали всі сім'ї, які підпадають під обов'язкову умову «повинен бути один хлопчик». Розрахунок ймовірності статі другої дитини відбувався за умови (в теорії ймовірностей це називається «умовна ймовірність»), що і призвело до результату, відмінного від першого.

VІ. Підведення підсумків уроку:

1.                   Слова учителя: Задачі, які ми розв’язували на уроці, спочатку здаються досить простими, але, під час їх розв’язання можна отримати результати, які заздалегідь передбачити неможливо, однак, вони підтверджуються наукою. Великі карточні виграші не принесли головному герою фільму наживи. Внаслідок участі в азартних іграх він опинився за гратами. Рекомендую учням переглянути фільм „Двадцять одне” в повному обсязі.

VІІ. Рефлексія. Як ви вважаєте, чи потрібно саме так використовувати свої здібності? Можливі відповіді учнів: дані тобі природою здібності треба використовувати для вищих цілей, а не для своєї наживи, беручі участь в азартних іграх.

Список використаних джерел

1. Г.Секей. Парадокси теорії ймовірностей, http://padabum.com/d.php?id=10685
2. Епізоди з кінофільму „Двадцять одне”, https://drive.google.com/open?id=1gf-QbTt9lim7A37Mm5W7bzQkfpbeCzF8 , https://drive.google.com/open?id=1xxhUlpjMC0Nsc_GyHQPHw4asG5nVY2H-