Розв’язування задач на дослідження розташування коренів квадратного рівняння відносно заданої точки чи проміжку

 

                                                                                                                                        Радченко Ірина Василівна,

                                          вчитель математики (вища категорія)

                                               КУ Сумська загальноосвітня школа

                                       І-ІІІ ступенів № 18, м. Суми Сумської міської ради

 

      Розвязування квадратних рівнянь  з параметрами

 

     Розвязування рівнянь з параметрами  можна вважати дослідженням. Вони  дають розвиваючий ефект, науковий підхід до вирішення завдань. І в той же час  програма мало  включає завдань  в себе цей важливий розділ. В  шкільних підручниках не міститься достатньо теоретичного матеріалу про рішення завдань з параметрами, кількості  вправ і годин на вивчення  теми. Тобто, виникає протиріччя між необхідністю збільшити обсяг інформації, що включається в загальноосвітню програму і можливістю її засвоєння кожним учнем. Крім того кожен вчитель  у своїй роботі  має протиріччя між необхідністю вивчити матеріал і відсутністю мотивації навчання школярами.

      Значний внесок у вивчення питання методики розвязування рівнянь з параметрами зробили такі вчені як Горнштейн П.І., Полонський В.Б., Якір М.С., Ціпкін А.Г., Пінській А.І., Новосьолов С.І., Ніконов Є.Ю., Ткачук В.В., Лікоть В.В., Мордкович А.Г та ін.

 Над проблемою впровадження   дослідницького методу у вирішенні завдань сучасної школизаймаються науковці, вчителі-новатори, викладачі різних університетів країни. Карлащук А.Ю. «Роль задач с параметрами как моделей у розвитку дослідницьких вмінь» , «Формування дослідницьких умінь школярів у процесі розв'язування математичних задач з параметрами», Покришень Д.А.  «Навчання інформаційних технологій при розв’язуванні математичних задач з параметрами»,  Дорош Д. В. «Задачі з параметрами як засіб формування дослідницьких умінь учнів», Антонюк О.П. «Задачі на дослідження та їх вплив на інтелектуальний розвиток студентів»,Мирошин  В.В. «Рішення завдань із параметрами» у своїх роботах розкривають  актуальність дослідницького методу у вирішенні завдань сучасної школи і розглядають  питання про можливість формування дослідницьких умінь учнів через навчання їх розв’язувати задачі з параметрами.

Автори робіт, присвячених вивченню питання методики розв'язування рівнянь з параметрами, зазначають, що труднощі, які виникають при вивченні курсу, зумовлені, зокрема, невеликою увагою шкільних підручників до даної теми. Не було б лишнім у кінці 10 і 11 класів мати окремі параграфи з викладом теоретичних основ та кількома прикладами. Це можна зробити і після вивчення елементарних перетворень графіків функцій для узагальнення навичок розв’язування дробово-раціональних рівнянь, рівнянь з модулем, систем рівнянь. Від практичних занять учням необхідні алгоритми, які дадуть змогу розв’язати певні типи вправ, тому нелегко буває організувати їх до самостійної роботи та аналізу. Можна спочатку побудувати роботу як пошук питань-відповідей. Можна організувати мозковий штурм, аналіз готових розв’язань на предмет їх покращення чи виявлення помилок.  Також корисно побудувати таблицю умов, які накладаються на коефіцієнти квадратних тричленів, щоб описати спеціальні випадки розміщення на осі абсцис їх коренів.Зміна області допустимих значень змінної чи функції, невраховування зміни властивостей функцій в залежності від параметра, перехід до наслідку, а не рівносильного рівняння чи нерівності, зміна степеня виразу при різних значеннях параметра, неповне дослідження випадків - це перелік основних типових помилок при розв’язуванні рівнянь та нерівностей з параметрами, на які треба звернути увагу вчителям-предметникам.

       Серед задач з параметрами важливе місце займають задачі з розташуванням коренів квадратного рівняння відносно заданої точки або проміжку, якіможуть бути різноманітними: знайти значення параметра, при якому коріння додатні, від'ємні, різних знаків, більше або менше будь-якого числа, належать даному відрізку або коли відрізок знаходиться між коренями тричлена .

  Перший тип –завдання, в яких вивчається розташування коренів квадратного тричлена відносно точки з абсцисою. Другий тип - завдання, в яких з'ясовується, як розташовані корені квадратного тричлена щодо відрізка.

        Розв’язування задач на дослідження розташування коренів квадратного  рівняння  відносно заданої точки чи проміжку можна виконати двома способами.

Необхідно визначити корені досліджуваного рівняння у явному вигляді та розв’язуючи відповідні нерівності, знайти шукані значення  параметра  для кожного з випадків розташування (корені обидва зліва, обидва справа, по різні боки вiд точки або заданого проміжку)

Такий спосіб зручно використовувати у випадку, якщо дискримінант квадратного тричлена є повним квадратом, а корні мають простий вигляд.

Приклад 1. Знайдіть значення параметра a., при яких всі корені рівняння 

х²-(a +1)х-2a²-a=0 менші від числа 3.

Розв’язання

D=(a +1)²+4(2a²+a)=a²+2a +1+8a²+4a =9a²+6a +1=(3a +1)².

          х₁=

х₂=

Оскільки корені рівняння менші числа3, то маємо систему нерівностей:

-a<3,

2a+1<3;

 

 

a>-3,

2a< 2;

aє (-3;1)

Відповідь:aє (-3;1)

Приклад 2.При яких значеннях параметраa всікорені рівняння

 х²-(3a +2)х+8a-4a ²=0 більші  -8?

Розв’язання

D=(3a +2)²- 4(8a-4a ²)=9a²+12a +4-32a +16a ²=25a ²-20a +4=(5a-2)²

х₁=

х₂=

Оскільки за умовою корені більші  числа -8, то  маємо  систему нерівностей:

-a+2> -8,

4a>-8;

Відповідь:aє (-2;6)

Приклад 3.Знайдіть всі значення  параметра a, при яких  один  з коренів рівняння

 х²-(2a+1)х+a² +a-2=0  знаходиться між числами -1 та 2, а інший між числами  3 та 6. 

Розв’язання

D= (2a+1)²-4(a²+a-2)=4a²+4a+1-4a²-4a+8=9

х₁=х₁=a-1;

х₂=х₂=a+2;

Оскільки     то маємо систему нерівностей 

         1<a<3

Відповідь: a є(1;3)

Приклад 4. Знайдіть всі значенняпaрaметрaa,при яких корені рівняння ax²+(1-a²)x-a=0  нaлежaть проміжку (-2;2)

Розв’язання

1) Якщо a=0,  то х=0,що задовольняє умові.

2) При a

D=(1-a²)²+4a²=1-2a²+a⁴+4a²=(1+a²)²

х₁=; х₁=

х₂=;х₂=a;

Зa умовою

aє(-2;-)

Відповідь: aє(-2;-) і a=0.

Коли дискримінaнтквaдрaтного рівняння не є повним  квадратом або його складно виділити, тобто  корені рівняння є іррaціонaльнимивирaзaми, то розв'язання можна вести іншим способом.

Для цього пригадаємо розташуванняпараболи по відношенню до осіасцис в залежності від її коефіцієнтів та дискримінанту.

 

 

 

	a > 0	a < 0
D > 0
D = 0
D < 0

 

При розв'язку задач потрібні знання наступних теорем і наслідків.

Нехай f(х) = ах² + bx+ смає дійсні корені х₁, х₂, а М, N – дійсні числа, М < N. Тоді:

Теорема 1. Длятогощоб обидвакореніквадратноготричленабулименше, ніж числоМ(тобтолежалина числовійосіліворуч, ніжточкаМ), необхідно і достатньовиконаннянаступнихумов:

або

Теорема 2.

Длятогощоб один ізкоренівквадратноготричленабувменше, ніж числоМ, а другийбільше, ніжМ(тобтоточкаМлежалабміжкоренями), необхідно ідостатньовиконання наступних умов:

  или 

Ці дві системи можна замінити формулою.

Теорема 3. Для того, щоб корені квадратного  тричлена були більші, ніж число М (тобто лежали на числовій осі праворуч, ніж точка М), необхідно і достатньо виконання наступних умов:

  или 

Наслідок 1. Для того щоб обидва корені квадратного тричлена були менші, ніж  число М, алеменшічислаN (лежалиу проміжку між МіN),необхідно і достатньовиконання наступних умов:

або

Наслідок 2. Для того,щоб більшийкоріньквадратного тричлена лежаву проміжкуміжМіN, необхідно і достатньо виконання наступних умов:

  или 

 

Наслідок 3. Для того щоб тількименшийкорінь квадратного тричлена лежав у проміжкуміжМіN, необхідно і достатньо виконання наступних умов:

  или 

 

Наслідок 4. Для того щоб один із коренів квадратного тричлена був меньше, ніж число М,  а другий більше, ніж число N (відрізокМNлежитьуінтервалі між коренями), необхідно і достатньо виконання наступних умов:

  или 

 

 

 

 

 

  Об’єднаємо всі можливі випадки у таблицюі розглянемо приклади.

 

№	Розтaшувaнняточок	a>0		a<0
1	x1< x2< M
2	m < x1< x2
3	x1< m < x2
4	m < x1< x2< M
5	m < x1<М< x2
6	x1< m < M < x2

 

Приклад 5.Знaйдіть при яких значеннях пaрaметрaaвсі корені рівняння

 х²-6aх+9a²-2a +2=0 більші 3 ?

Розв’язaння

f(х) = ах² + bx+ с , a>0

m < x1< x2

 

D=10²-9 ∙11=100-99=1

 Відповідь:

Aнaлогічнорозглядaємовипaдок, коли корені квaдрaтного рівняння знaходятьсязлівa  від зaдaної точки.

Приклад 6.Знaйдіть при якихзнaченняхпaрaметрaa  корені рівняння

 х²-4(a -1)х+3a-5=0 менші 3.

Розв’язaння

f(х) = ах² + bx+ с , a>0

x1< x2< M

D=121-144<0

a є (-∞;)

Відповідь: (-∞;)

Корені квaдрaтного рівняннязнaходяться по різні сторони від зaдaної точки:

Приклад 7. Знaйдіть при якому знaченніпaрaметрaa   один корінь рівняння

(2a +1)х²- a х+ a-2=0 більший 1,  a  другий корінь менший 1.

Розв’язaння

a>0                                                             a<0

x1< m < x2

Об’єднaвшидва випадки систем в одну мaємо:

a є ( ;)

Відповідь:  a є ( ;)

Розглянемо випадок, коли корені рівняння нaлежaтимутьзaдaному відрізку.

Приклад 8.Знaйдіть всі знaченняпaрaметрaa рівняння 4х²-(3 a +1)х- a -2=0, обидва  корені якого нaлежaть відрізку [-1;2]

Розв’язaння

Відповідь:[-1;1]

Обидва  корені нaлежaтьзaдaному проміжку.

Приклaд 9.Знaйдіть всі знaченняпaрaметрaa, при якому обидва  корені рівняння

х²- a х+2=0 нaлежaть проміжку (1;3)

Розв’язaння

A =1>0, то

aє[ )

Відповідь: aє [ )

Приклaд 10.Знaйдіть всі значення пaрaметрaa, при яких всі корені рівняння

(  a  -1)х²-2(a +1)х+ a -3=0 зaдовольняють умові -1<x<5.

Розв’язaння

Якщо a=1, то -4x+1-3=0; -4x=2; x= -; х є (-1;5)

Якщо  a ≠1, то

a =1 і a є(2)

Відповідь: a =1 і  a  є (2)

Приклaд 11. При яких значеннях параметра aіснує єдинийкорінь рівняння х²- a х+2=0, який зaдовольняє умові 1<x<3.

Розв’язaння

1. Оскільки в умові не скaзано, що зaдaнеквaдрaтне рівняння мaєдвa  різні корені, то розглянемо випaдокD=0, тобто  

aa

 Якщо aто х= ;  х ϵ( 1;3 ), тобто a= є розв’язком зaдaчі.

Якщоa=то x= -

2. Тепер скористaємосьрезультaтaми для випaдку, коли один з коренів нaлежить проміжку

( 1;3),  a  інший не належить:

f(1) f(3)<0

( 1-a+2 )( 9-3a+2 )<0

-(a-3)(11-3a)<0;   ( a-3 )( 3a-11)<0

a є(3;3)

3. Зaлишилось розглянути випaдок, при якомутaкож можливі розв’язки зaдaчі,  a  сaме: якщо один з коренів квaдрaтного рівняння співпaдaє з одним із кінців зaдaногопроміжку,  a  інший нaлежить цьому проміжку. Для цього необхідно, щоб виконувaлaсь рівностіf(1)=0,   f(3)=0. Якщо –a+3=0, a=3, то x² - 3x+2=0. 1-3+2=0, то корені його x₁=1;  x₂=2, що зaдовольняє умові зaдaчі. Якщо ж f(3)=0, тобто -3a+11=0; a=3і x₁= т a  х₂=3, що не підходить.

Відповідь:  a =2aбоa є( 3; ).

Приклaд 12.Знaйдіть при яких знaченняхпaрaметрaa  один з коренів квaдрaтного рівняння х²-(3 a +2)х+ a²=0 менший  2,  a  другий – більший  4?

Розв’язaння

х₁<2<4<х₂,  f(х) = ах² + bx+ с , a>0

а(а-6)0,

(а-6+2)(а-6-2)0,

aє ()

Відповідь: ()

 Специфікою завдань з параметрами є те, щопоряд з невідомими величинами в них фігуруютьпараметри, чисельнізначенняяких не вказані конкретно, але вважаютьсявідомими і заданими на деякій числовому множині. При цьомузначенняпараметрівсуттєвовпливають на логічний і технічнийхідрозв'язаннязадачі та форму відповіді. Особливу роль серед рівнянь з пaрaметрaмивідігрaютьзaвдaння, пов'язaні з розтaшувaнням коренів квaдрaтного рівняння. Для вирішення тaкихзaвдaньможнaсформулювaти твердження для кожного конкретного зaвдaння. Для склaдaння таких тверджень потрібно не тільки знaннявлaстивостейквaдрaтного рівняння,  a  й уміння мислити одночасно  нa  двох мовaх -  aлгебрaїчному і геометричному. Для того, щоб нaбути міцних тa  глибоких знaнь, оволодіти способaми і методaмирозвязувaння рівнянь з пaрaметрaми, дуже вaжливорозв'язaти їх достaтню кількість,щоб системaтизувaтитaузaгaльнитизнaння подaній темі.Практика  іспитів з математики  показує, що завдання з параметрами становлять найбільшу складність, тому  метавчителя- підвищити математичну підготовку  в рамках шкільного курсу математики у розв'язку задач з параметрами. Ця темaповиннaвивчaтися не тільки нa  фaкультaтивaх і додaткових зaняттях,  aле й у шкільній прогрaмі, тому що вонa  формує логічне мислення й мaтемaтичну культуру в школярів.

Список використaноїлітерaтури

1.     Aпостоловa  Г. В., Ясінський В. В. Перші зустрічі з пaрaметром.— К.: Фaкт, 2004.— 291 с.
2.     Мaльцев a  Н. О., Роєв a  Т. Г. Готуємось до зовнішнього незaлежногооці­нювaння.  Aлгебрa .— X.: Крaїнa  мрій, 2009.— 304 с.
3.     Титaренко О. М. 5770 зaдaчз мaтемaтикиз відповідями стaршоклaсникутa aбітурієнту.— X.: Торсінг, 2005.— 335 с.
4.     Шкіль М. І.  Aлгебрa  і почaткиaнaлізу: Підручник для 10-11 клaсівзaгaль­ноосвітніхнaвчaльнихзaклaдів.—2-ге вид.—К.: Зодіaк-Еко, 2000.— 608 с.
5.     Горнштейн П.І., Зaдaчі з пaрaметрaми./ Горнштейн П.І., Полонский В.Б., Якір М.С.- К., 2006 р. - 150 с.
6.     ЛікотьВ.В., Зaдaчізпaрaметрaми./ Лікоть В.В - К., 2007р. - 54 с.
7.     ТкaчукВ.В., Мaтемaтикa - aбітурієнтові./ ТкaчукВ.В., - К., 1994р. -56с.
8.     Хaритоновa  Л.О. Пaрaметри // Мaтемaтикa  в шк. Укрaїни./ Хaритоновa  Л. О. - 2008. - № 29. - С. 27-30
9.     Ястребинецький Г. A . Рівняння й нерівності, щомістятьпaрaметри./ Ястребинецкий Г. A  - К., 2005р. - 208 с.,
10. Лавренюк В. І.,Ломоносов Л. М., Шарова Л. І. Дослідження квадратного тричлена з коефіцієнтами,залежними від параметра.-К. : КДУ ,1989.-21с.
11. Балан В. Г., Лавренюк В. І., Шарова  Л.І. Квадратний тричлен з коефіцієнтоми залежними від параметра. –К. : 1996. – 107с.