Розв'язування прямокутних трикутників

Розв’язування прямокутних трикутників. Підготувала Єсипенко О. Л.

Види задач на розв’язування прямокутних трикутників. Випадок 1. За катетами: Дано: АС = b, BC = a. Знайти: АВ, ∠А, ∠В. Алгоритм розв’язання𝟏) 𝑨𝑩=𝒂𝟐+𝒃𝟐;𝟐) 𝒕𝒈∠𝑩=𝒃𝒂;𝟑) ∠𝑨=𝟗𝟎°−∠𝑩 

Практикум. Розв’язання. АВС – прямокутний трикутник (∠С = 90°), АС = 12 см, BC = 5 см. За теоремою Піфагора маємо:𝟏) 𝑨𝑩𝟐=𝑨𝑪𝟐+𝑩𝑪𝟐, звідки 𝑨𝑩=𝑨𝑪𝟐+𝑪𝑩𝟐=𝟏𝟐𝟐+𝟓𝟐=𝟏𝟔𝟗=            =𝟏𝟑см2) 𝒕𝒈𝑨=𝑩𝑪𝑨𝑪=𝟓𝟏𝟐≈𝟎,𝟒𝟏𝟔𝟔𝟕; ∠𝑨≈𝟐𝟑°3) ∠𝑩≈𝟗𝟎°−𝟐𝟑°≈𝟔𝟕°Відповідь: 13 см, ≈𝟐𝟑°, ≈𝟔𝟕° Знайди гіпотенузу і кути прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють 12 см і 5 см.

Види задач на розв’язування прямокутних трикутників. Випадок 2. За катетом і гіпотенузою: Дано: АВ = с, АC = b. Знайти: CВ, ∠А, ∠В. Алгоритм розв’язання𝟏) 𝑪𝑩=𝒄𝟐−𝒃𝟐;𝟐) 𝒔𝒊𝒏∠𝑩=𝒃𝒄;𝟑) ∠𝑨=𝟗𝟎°−∠𝑩 

Види задач на розв’язування прямокутних трикутників. Випадок 3. За катетом і гострим кутом: Дано: СВ = a, ∠А = αЗнайти: AВ, АC, ∠В. Алгоритм розв’язання𝟏) ∠𝑩=𝟗𝟎°−𝜶;𝟐) 𝑨𝑩=𝒂𝒔𝒊𝒏𝜶;𝟑) 𝑨𝑪=𝒂 :𝒕𝒈𝜶. 

Практикум. Знайдіть невідомий катет, кут та гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо відомий катет дорівнює 5 см, а кут, прилеглий до нього - 46°. Розв’язання. АВС – прямокутний трикутник (∠С = 90°), BC = 5 см, ∠В = 46°.∠𝑨=𝟗𝟎°−∠𝑩=𝟗𝟎°−𝟒𝟔°=𝟒𝟒°2) 𝑨𝑩=𝑪𝑩𝒄𝒐𝒔𝑩;𝑨𝑩=𝟓𝒄𝒐𝒔𝟒𝟔°≈𝟓𝟎,𝟔𝟗𝟒𝟕≈        ≈𝟕,𝟐см𝟑) 𝑨𝑪=𝑪𝑩∙𝒕𝒈𝑩;𝑨𝑪=𝟓∙𝒕𝒈𝟒𝟔°≈≈𝟓∙𝟏,𝟎𝟑𝟓𝟓≈𝟓,𝟐см. Відповідь: 44°, ≈𝟕,𝟐 см, ≈𝟓,𝟐 см. 

Види задач на розв’язування прямокутних трикутників. Випадок 4. За гіпотенузою і гострим кутом: Дано: АВ = с, ∠А = αЗнайти: AС, CВ, ∠В. Алгоритм розв’язання𝟏) ∠𝑩=𝟗𝟎°−𝜶;𝟐) 𝑪𝑩=𝒄∙𝒔𝒊𝒏𝜶;𝟑) 𝑨𝑪=𝒄∙𝒄𝒐𝒔𝜶. 

Практикум. Знайти катети і невідомий гострий кут прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 6,5 см, а один з кутів - 22°Розв’язання. АВС – прямокутний трикутник (∠С = 90°), АВ = 5 см, ∠А = 22°.1) ∠𝑩=𝟗𝟎°−∠𝑨=𝟗𝟎°−𝟐𝟐°=𝟔𝟖°2) 𝑪𝑩=𝑨𝑩∙𝒔𝒊𝒏𝑨;𝑪𝑩=𝟔,𝟓∙𝒔𝒊𝒏𝟐𝟐°=𝟔,𝟓∙𝟎,𝟑𝟕𝟒𝟔≈𝟐,𝟒см3) 𝑨𝑪=𝑨𝑩∙𝒄𝒐𝒔𝑨;𝑨𝑪=𝟔,𝟓∙𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐°=𝟔,𝟓∙𝟎,𝟗𝟐𝟕𝟐≈𝟔см. Відповідь: ≈𝟐,𝟒 см, ≈𝟔 см, 𝟔𝟖° 

Практикум. У трикутнику АВС висота ВК ділить основу АС на відрізки 𝑨𝑲=𝟒𝟑 см,  𝑲𝑪=𝟓 см, ∠𝑨=𝟔𝟎°. Знайти бічні сторони трикутника.  Дано: △АВС, ВК – висота, АК = 𝟒𝟑 см, КС = 5 см, ∠А = 60° Знайти: АВ, ВС 

Розв’язання. Оскільки ВК – висота, то ∠АКВ = ∠СКВ = 90°. У прямокутному трикутнику АВК (∠ВКА = 90°) за співвідношенням між елементами прямокутного трикутника:𝒕𝒈𝑨=𝑩𝑲𝑨𝑲; 𝑩𝑲=𝑨𝑲∙𝒕𝒈𝑨;𝟐) 𝑩𝑲=𝟒𝟑∙𝒕𝒈𝟔𝟎°=𝟒𝟑∙𝟑==𝟏𝟐 см;3) 𝒄𝒐𝒔𝑨=𝑨𝑲𝑨𝑩;𝑨𝑩=𝑨𝑲𝒄𝒐𝒔𝑨=𝟒𝟑𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎°=        =𝟒𝟑 : 𝟏𝟐=𝟒𝟑∙𝟐=𝟖𝟑 см 

Розв’язання. У прямокутному трикутнику ВКС (∠ВКС = 90°) за теоремою Піфагора: ВС = 𝟏𝟐𝟐+𝟓𝟐=𝟏𝟒𝟒+𝟐𝟓=𝟏𝟔𝟗=𝟏𝟑см. Відповідь: 𝟖𝟑 см, 𝟏𝟑 см. 

Домашнє завдання. Опрацювати п. 18, № 615, 616, 617. На повторення № 637