Розв’язування системи n лінійних рівнянь з n невідомими методом Крамера і методом Гауса.

Практична робота

 Розв’язування системи  n лінійних рівнянь з n невідомими

методом Крамера і методом Гауса.

Мета уроку: Формувати навички і вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь методами Крамера і Гауса.

Актуалізація опорних знань:

1. Що називається системою m лінійних рівнянь з n невідомими?
2. Яка система рівнянь називається сумісною, несумісною; визначеною, невизначеною?
3. За яких умов однорідна система лінійних рівнянь має єдиний нульовий розв´язок ; безліч розв´язків?
4. Назвати елементарні перетворення матриці.

Алгоритм методу Крамера

       Знайти - визначник основної матриці системи, складений з коефіцієнтів при невідомих.

       Знайти - визначники матриці, які утворюються з основної матриці системи заміною j стовпця стовпцем вільних членів.

       Обчислити корені системи за формулою .

Завдання 1  Розв’язати систему рівнянь методом Крамера

Розв’язування:

       ;

       ;

;

;

       ;  ;  .

Відповідь. .

Алгоритм методу Гауса

       Помноживши перше рівняння на необхідні числа і додавши одержані рівняння відповідно до другого, третього,..., n–го рівнянь, вилучаємо  х₁ з усіх рівнянь, починаючи з  другого.

       Помноживши друге рівняння на необхідні числа та додавши одержані рівняння відповідно до третього, четвертого,..., n–го рівнянь, вилучаємо    х₂ з усіх рівнянь, починаючи з третього.

       Таким самим способом вилучаємо  всі решта невідомі: х₃, х₄,...,х_n-1. Останнє рівняння буде рівнянням з одним невідомим.

       Починаючи з останнього рівняння, по черзі знаходимо всі невідомі.

Завдання 2   Розв’язати систему рівнянь методом Гауса

Розв’язування:

    До першого рівняння, яке множиться на (-2), послідовно додаємо друге і третє, які множаться на 3. Отримамо рівносильну систему, у якій в другому і третьому рівняннях виключено . До третього рівняння додаємо друге, помножене на 5.  Отримамо східчасту систему , з якої послідовно знаходимо , і .

Відповідь:

Систему лінійних рівнянь зручно розв’язувати, використовуючи матричну форму запису.

Наприклад:

Звідси  , ;

, , ;

, , .

Відповідь: .

Вправа для самостійного розв’язання

       Розв’язати систему рівнянь методами Крамера і Гауса.