Розв’язування вправ. Зведення тригонометричних рівнянь до алгебраїчних

Про матеріал

Розробка сторінок зошита для дітей, яким складно багато писати, або пишуть досить повільно. Даний матеріал можна розрукувати та прикріпити до зошита. Дитина має дописати необхідне у пропущені місця.

Перегляд файлу

Дата

Класна робота

Розв’язування вправ

Методи розв’язування тригонометричних рівнянь

Зведення тригонометричних рівнянь до алгебраїчних

Деякі тригонометричні рівняння можна привести шляхом тотожних перетворень до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебраїчного.

1. Розв’яжіть рівняння ${\sin ^2}x + 4\cos x = 2,75$ .

2. Розв’яжіть рівняння tg x+3ctg x=4.

Зведення тригонометричних рівнянь до рівнянь виду f(x)g(x)=0

Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.

3. Розв’яжіть рівняння $1 + \cos x - 2\cos \frac{x}{2} = 0$ .

4. Розв’яжіть рівняння sin 2x-sin x=0.

Однорідні тригонометричні рівняння

Розглянемо рівняння виду asin x+bcos x=0 (однорідне рівняння 1-го степеня), де а і b не дорівнюють нулю.

Значення х при cos x дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді й sin x теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння почленно на cos x.

Маємо:

$\frac{{a\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{b\cos x}}{{\cos x}} = 0;\;a\,tg\,x + b = 0;\;tg\,x = - \frac{b}{a};\;tg\,x = - arctg\frac{b}{a} + \pi n,n \in Z$ .

Рівняння виду $a{\sin ^2}x + b\cos x\sin x + c{\cos ^2}x = 0$ називається однорідним рівнянням 2-го степеня.

Якщо числа а, b, с не дорівнюють нулю, то розділимо дане рівняння на ${\cos ^2}x$ (або на ${\sin ^2}x$ ). (У даному рівнянні ${\cos ^2}x \ne 0$ , бо у протилежному випадку ${\sin ^2}x$ теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю.) Тоді

$\frac{{a{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{b\cos x\sin x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{c{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 0$ .

Розв’язавши отримане рівняння, одержимо корені даного рівняння.

Рівняння виду ${a_n}{\sin ^n}x + {a_{n - 1}}{\sin ^{n - 1}}x\cos x + ... + {a_1}\sin x{\cos ^{n - 1}}x + {a_0}{\cos ^n}x = 0$ називається однорідним рівнянням n-го степеня відносно синуса і косинуса.

Якщо жоден із коефіцієнтів ${a_n},{a_{n - 1}},...,{a_1},{a_0}$ не дорівнює нулю, то розділивши обидві частини рівняння почленно на ${\cos ^n}x$ , одержимо рівняння n-го степеня відносно tg x.

Якщо хоча б один із коефіцієнтів ${a_n},{a_{n - 1}},...,{a_1},{a_0}$ дорівнює нулю, то перш ніж виконувати ділення на ${\cos ^n}x$ , слід довести, що ${\cos ^n}x \ne 0$ , тобто $\cos x \ne 0$ .

5. Розв’яжіть рівняння ${\cos ^2}x - 2\cos x\sin x = 0$ .

Розв’язання

Ділити обидві частини на ${\cos ^2}x$ не можна, бо ${\cos ^2}x = 0$ є розв’язком даного рівняння. Це рівняння можна розв’язати у такі способи.

І спосіб (винесення множника)

ІІ спосіб. Розділимо обидві частини на ${\sin ^2}x$ , оскільки $\sin x \ne 0$ у даному рівнянні, бо у протилежному випадку $\cos x = 0$ , що неможливо.