Урок 5

Тема уроку.   Розв'язування задач.

Мета уроку:   формування вмінь учнів застосовувати вивчені аксіоми і теореми до розв'язування вправ, побудови простих перерізів многогранників.

Обладнання: стереометричний набір, моделі куба і тетраедра.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Обговорення розв'язування задачі № 12 за записами з пропусками,  заготовленими на дошці до початку уроку.

Розв’язання задачі № 12

Нехай точки А, В, С, D не лежать ... Ці точки і ніякі три з низ ... на одній прямій (?) *, тому кожна із чотирьох можливих трійок точок: А; В; С; ...; ...; ... визначають (?) єдину площину (рис. 21). Ці чотири площини різні (?)

Відповідь. Чотири площини.

* Знак «?» означає необхідність обґрунтування твердження учнями.

2. Проведення тесту на визначення істинності математичних тверджень.

Вчитель читає твердження, учні ставлять “+”, якщо твердження істинне, і “-“, якщо воно хибне. Правильність визначення твердження оцінюється 1 балом. У квадратних дужках вказано правильні відповіді.

Тест

1. Через точку перетину діагоналей прямокутника можна провести пряму, яка не перетинає його сторони. [+]
2. Якщо точки А, В, С, D не лежать в одній площині, то прямі АВ і CD можуть перетинатися. [-]
3. Якщо дві точки кола належать деякій площині, то і все коло лежить в цій площині. [-]
4. Будь-які три точки лежать в одній площині. [+]
5. Будь-які чотири точки не можуть лежати в одній площині. [-]
6. Дві площини можуть мати тільки дві спільні точки. [-]
7. Дві, площини можуть мати дні спільні прямі, які перетинаються. [-]
8. Через три точки, які лежать на одній прямій, можна провести площину. [+]
9. Дві площини можуть мати три спільні точки, які не лежать на одній прямій. [-]
10. Якщо три вершини ромба лежать у деякій площині, то і четверта його вершина лежить у цій же площині. [+]
11. Якщо три точки кола лежать у деякій площині, то і все коло лежить у цій же площині. [+]
12. Через чотири точки, які лежать на одній прямій, можна провести площину. [+]

II. Закріплення та осмислення знань учнів

Формування вмінь застосовувати вивчені аксіоми стереометрії та наслідки з них до розв'язування задач

Виконання вправ

1. Середини трьох сторін трикутника належать площині α. Доведіть, що вершини трикутника належать площині α.
2. Площини α і β перетинаються по прямій с. Доведіть, що існує  площина:

а) яка містить пряму с і відмінна від площин α і β;

б) яка перетинає пряму с та площини α і β .

3. Дві вершини трикутника належать деякій площині. Чи належить цій площині третя вершина, якщо відомо, що цій площині належить:

а) центр кола, вписаного в трикутник;

б) центр кола, описаного навколо трикутника?

4. Три прямі  a, b, с попарно перетинаються і перетинають площину α, в точках А, В, С (рис. 22). Чи є помилка на рисунку? Якщо помилка є, то зробіть правильний рисунок.
5. *Задача № 14 із підручника (с. 10), (Зірочкою позначено задачі підвищеної складності)
6. *Задача № 8 із підручника (с. 9).

Формування вмінь будувати прості перерізи многогранників

Для побудови простіших перерізів необхідно вміти розв'язувати дві опорні задачі:

1. будувати лінію перетину двох площин;
2. будувати точку перетину прямої і площини.

З першою опорною задачею ми познайомилися на попередніх уроках. Сьогодні ми познайомимося з розв'язуванням другої опорної задачі на побудову перерізів: побудувати точку перетину прямої і площини. Для розв'язання цієї задачі знаходять у площині пряму, яка перетинає дану пряму; шукана точка — точка перетину двох пряних. Для прикладу розглянемо задачу, в якій система запитань дає спосіб її розв’язання.

Задача.

 Точка Μ — середина ребра АА₁ куба ABCDA₁B₁С₁D₁. Побуде точку перетину прямої D₁M з площиною основи АВСD.

Розв’язання (основні етапи):

а) Назвіть площину бічної грані, якій належить пряма D₁М.

б) Назвіть пряму, яка лежить у знайденій бічній грані і площині основи ABCD.

в) Побудуйте шукану точку.

г) Обчисліть довжину відрізка МD₁, якщо ребро куба дорівнює 2 см.

Виконання вправ

1. Дано зображення куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 23). Побудуйте точку перетину прямої XY з площиною АВС та лінію перетину площини XYC і ADC.
2. Дано зображення тетраедра SABC (рис. 24). Побудуйте точку перетину прямої XY з площиною АВС та лінію перетину площини XYB і ABC.
3. Дано зображення куба (рис. 25). Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через точки А, В, С.
4. Дано зображення прямокутного паралелепіпеда (рис. 26). Побудуйте переріз прямокутного паралелепіпеда площиною, яка проходить через точки А, В, С.
5. Дано зображення тетраедра (рис. 27). Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка проходить через точки А, В, С.

ІІІ. Домашнє завдання

Підготуватися до самостійної роботи та розв’язати наступну задачу.

У кубі ABCDA₁B₁C₁D₁ точка М лежить на ребрі A₁B₁, причому МВ₁=A₁B₁. Побудуйте точку N перетину прямої АМ з площиною грані ВВ₁С₁С та знайдіть довжину відрізка MN, якщо ребро куба дорівнює 12 см.

IV. Підведення підсумків уроку

Запитання до класу

1. Як побудувати лінію перетину двох площин?
2. Як побудувати точку перетину прямої і площини?