Тотожності sin2α + cos2α = 1; sin(180°- α) = sinα; cos(180°- α) = -cosα; sin(90°- α) = cosα; cos(90°- α) = sinα.

УРОК № 2

Тема уроку. Тотожності sin²α + cos²α = 1; sin(180°- α) = sinα;

   cos(180°- α) = -cosα; sin(90°- α) = cosα; cos(90°- α) = sinα.

Мета уроку: виведення формул sin²α + cos²α = 1; sin(180°- α) = sinα;

cos(180°- α) = -cosα; sin(90°- α) = cosα; cos(90°- α) = sinα. Формування вмінь учнів знаходити тригонометричні функції тупих кутів.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Співвідношення між сторонами і кутами трикутника» [13], табл. 1. Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують формули sin²α + cos²α = 1; sin(180°- α) = sinα; cos(180°- α) = -cosα; sin(90°- α) = cosα; cos(90°- α) = sinα до розв'язування вправ.

Хід уроку

I. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відпо­вісти на запитання, які виникли в учнів у ході виконання до­машніх завдань.

Фронтальне опитування

1. Сформулюйте означення синуса, косинуса, тангенса кутів від 0° до 180°.
2. Користуючись таблицею (або калькулятором), знайдіть:

a) sin 112°, cos 112°, tg 112°;  б) sin 149°, cos 149°, tg 149°;

в) sin 167°, cos 167°, tg 167°.

II. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Основна тригонометрична тотожність

Слід зазначити, що основну тригонометричну тотожність sin²α + cos²α = 1 у восьмому класі доведено для гострого кута α. Покажемо, що ця тотожність справедлива для будь-якого кута sin 0° до 180°.

Якщо кут α — тупий (рис. 6), тоді із прямокутного трикутни­ка ОАВ (В = = 90°, АВ = у , ВО = -х, ОА = 1) за теоремою Піфагора маємо: ОВ² + АВ² = ОА², (-x)² + у² = 1, х² + у² = 1. Ураховуючи, що x = cosα, у = sinα, маємо sin²α + cos²α = 1.

Якщо α = 0°, тоді cos² 0° + sin² 0° = 1² + 0² = l.

Якщо α = 90°, тоді cos² 90° + sin² 90° = 0² + 1² = 1.

Якщо α = 180°, тоді cos² 180° + sin² 180° = (-1)² + 0² = 1.

Отже, для будь-якого кута α (0° < α < 180°) виконується тотожність

sin² α + cos² α = 1.

Формули доповнення

У 8-му класі для гострого кута а було доведено формули доповнення, які виражають функції кута 90°- α через функції кута α. Нагадаємо їх:

sin(90° - α) = cosα, cos(90° - α) = sinα, tg(90°- α) = або tg(90°- α) = ctgα.

Наприклад,

sin 30° = cos 60° = , cos 45° = sin 45° = , cos 30° = sin 60° = .

Слід зазначити, що ці формули справедливі і для тупого кута a, проте це спричинює необхідність вводити тригонометричні функції від'ємних кутів. Із цим матеріалом учні ознайомляться в 10-му класі.

Формули sin(180°- α) = sinα, cos(180°- α) = - cosα

Розглянемо коло з центром О у початку координат і радіу­сом 1. Відкладемо кут α — гострий кут, який утворює радіус кола з додатною віссю Ох. Побудуємо кут 180°- α. Для цього відкладемо кут В₁ОА₁ від від'ємної півосі Ох, тоді A₁OB = 180° - α (рис. 7).

Нехай координати точок А і А₁ відповідно (х; у) і (х₁; у₁), ∆ОВА = ∆ОВ₁А₁ (за гіпотенузою і гострим кутом). Тоді sin (180°- α) = y₁ = y = sinα, cos (180°-α) = = х₁ = - x = - cos α, tg (180°- α) = = = = - tg α. Ці формули дають можливість, знаючи значення тригонометричних функцій гострих кутів, знаходити значен­ня тригонометричних функцій тупих кутів.

Наприклад,

sin 120° = sin (180° - 60°) = sin60° = ,

cos 120° = cos (180° - 60°) = - cos 60° = ,

tg 120° = tg (180° - 60°) = - tg 60° = .

Далі слід запропонувати учням знайти: sin 135°, cos 135°, tg 135°, sin 150°, cos 150°, tg 150°. Після цього результати треба занести до табл. 1, якою учні будуть користуватися протягом наступних уроків.

Таблиця 1

III. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Виконання вправ

1. Спростіть вираз:

a) 1 – cos²α;     б) (1 – cosα)(1 + cosα);

в) sin⁴α + sin²αcos²α + cos²α;  г) 1 + 2sin²αcos²α.

2. Знайдіть:

а) cosα і tgα, якщо sinα = 0,8 і 90° < α < 180°;

б) sinα і tgα, якщо cosα = і 90° < α < 180°.

IV. Домашнє завдання

1. Вивчити формули та значення тригонометричних функцій деяких кутів (табл. 1).
2. Знайти cosα і tgα, якщо sinα = і 90° < α < 180°.
3. Спростити sin⁴α + sin²αcos²α – sin²α + 1.

V. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

1. Чи можуть одночасно виконуватися рівності:

а) sin α = , cos α = ; б) sin α = , cos α = ?

2. Визначте знак виразу:
   а) sin 171°; б) cos 139°;  в) tg 173°.