Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°.

УРОК № 1

Тема уроку. Синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°.

Мета уроку: формування понять синуса, косинуса, тангенса кутів від 0° до 180°. Формування вмінь знаходити тригоно­метричні функції тупих кутів.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Співвідношення між сторонами і кутами трикутника» [13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: пояснюють, що таке синус, косинус, тангенс кутів від 0° до 180°.

Хід уроку

І. Організаційний етап

Вступне слово вчителя. Ми продовжуємо вивчення геометрії. У дев'ятому класі ви ознайомитеся з новими розділами геометрії: розв'язування довільних трикутників; правильні многокутники; декартові координати на площині; геометричні перетворення; вектори на площині; початкові відомості зі стереометрії. Попереду на вас чекають нові теореми про властивості геометричних фігур, цікаві задачі.

Бажаю вам подолати перешкоди, які стануть на вашому шляху лабіринтами геометрії. Нехай вивчення геометрії принесе вам радість від одержаних перемог.

II. Актуалізація опорних знань

Фронтальна бесіда

Для повторення відомостей про тригонометричні функції гострих кутів прямокутного трикутника можна використати таблицю з посібника [13].

1. Сформулюйте означення синуса, косинуса, тангенса гострого кута прямокутного трикутника.
2. Знайдіть за рис. 1 sinα, cosα, tgα, cosβ, sinβ, tgβ.
3. Як пов'язані sinα і cosα, якщо α — гострий кут прямокут­ного трикутника?
4. Спростіть вираз:

а) 1 + sin²α + cos²α; б) 2cos²α + sin²α – 1.

5. Якою залежністю пов'язані sinα, cosα, tgα?
6. Знайдіть tgα, якщо:

а) sinα = , cosα = ;  б) sinα = , cosα = .

7. Укажіть значення виразів:

а) sin 30°, cos 30°, tg 30°; б) sin 45°, cos 45°, tg 45°;

в) sin 60°, cos 60°, tg 60°.

III. Поетапне сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Означення синуса, косинуса і тангенса кутів від 0° до 180°

Вивчення нового матеріалу можна провести так. Побудує­мо коло з центром у початку координат і радіусом 1 (рис. 2). Таке коло називається одиничним. Побудуємо гострий кут а, який утворює радіус ОА цього кола з додатним напрямом осі Ох. Нехай точка А має координати (х; у). Тоді для прямокутного трикутника АОВ маємо:

sinα = = = у;  cosα = = = x;  tgα = = .

Таким чином: синусом кута α є ордината точки А одиничного кола, причому радіус ОА утворює з додатним напрямом осі Ох кут α. Косинусом кута α є абсциса точки А одиничного кола, при­чому радіус ОА утворює з додатним напрямом осі Ох кут α. Тан­генсом кута α є відношення ординати точки А до абсциси цієї точ­ки, причому радіус ОА утворює з додатним напрямом осі Ох кут α.

Знаходження значень синуса, косинуса і тангенса тупих кутів

Користуючись наданими означеннями, дамо означення для будь-якого кута α, 0° < α < 180°. Тоді sin 0° = 0, cos 0° = 1, tg 0° = 0; sin 180° = 0, cos 180° = -l,    tg 180° = 0.

Якщо кут α — тупий (0° < α < 90°), то ордината точки А (рис. 3) додатна (тобто sin α > 0), абсциса — від'ємна (тобто cosα < 0), і відношення ординати до абсциси — від'ємне (тобто tgα < 0).

Отже, косинус, тангенс тупого кута від'ємні.

Якщо α – тупий кут (рис. 4), то cos α = ОС = - OD = -cos (180°- α),

sinα = AC = AD = sin (180° - α), тоді tg α = = - = -tg(180° - α).

Отже, щоб знайти синус тупого кута, досить знайти си­нус суміжного кута; щоб знайти косинус, тангенс тупого кута, треба знайти число, протилежне косинусу, тангенсу суміж­ного кута.

Наприклад, sin 120° = sin (180° - 120°) = sin 60° = ,

cos 150^o = - cos (180° - 150°) = - cos 30° = - ,

tg 135° = -tg (180° - 135°) = - tg 45° = - 1.

Якщо учні класу мають недостатню математичну підготовку, то можна спростити пояснення. Досить сказати, що синус тупого кута дорівнює синусу суміжного кута, а косинус і тангенс тупого кута до­рівнюють числу, протилежному косинусу і тангенсу суміжного кута.

Синус 0° дорівнює 0, синус 180° дорівнює 0, синус 90° до­рівнює 1; а косинус 0° дорівнює 1, косинус 180° дорівнює -1, косинус 90° дорівнює 0; тоді тангенс 0° і 180° дорівнюють 0, а тангенс 90° не існує.

IV. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Виконання вправ

1. Обчисліть синус, косинус і тангенс кута:

а) 120°; б) 135°; в) 150°.

2. Користуючись калькулятором (таблицями), знайдіть:

a) sin 100°, sin 132°, sin 175°;  б) cos 95°, cos 127°, cos l70°;

в) tg 93°, tg 129°, tg 172°.

V. Домашнє завдання

1. Вивчити означення синуса, косинуса, тангенса кутів від 0° до 180°.
2. Користуючись калькулятором (таблицями), обчислити:

a) sin 105°, sin 140°, sin 165°;  б) cos 100°, cos 130°, cos 160°;

в) tg 103°, tg 131°, tg 163°.

VI. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

1. Дайте означення синуса, косинуса, тангенса кутів від 0° до 180°.
2. Користуючись рис. 5, знайдіть:

а) sin α; б) cos α; в) tg α.